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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 小学函数思想和模型思想的教学策略孙家芳朝阳区教育研究中心 曹艳北京教育学院朝阳分院中科院院士、数学家张景中在一文中指出:“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴涵着一些深刻的数学思想。最重要的，首推函数思想。不用给小学生讲函数概念，但教师要有函数思想，在教学中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生的素质就有好处。”一、小学数学中渗透函数思想的教学策略关于函数思想：在小学阶段虽然没有出现函数这一概念，但整个小学阶段的数学学习中无不渗透着函数的思想，可以这样说，凡是有“变化”的地方都蕴涵着函数思想。问题1：什么是函数？初中:在一个变化过
2、程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，都有唯一的一个y值与之对应，我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。高中:A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),xA现代数学:两个集合A,B,F是一个从A到B的二元关系，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一的Y满足属于F，就称F为从A到B的函数，也称映射。问题2：什么是函数思想？函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数
3、思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意
4、识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。问题3：函数思想在小学数学教学中的渗透函数思想在小学阶段强调的是渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条基本原则:（1）创设“变化”的过程，才能感受到函数思想。（2）激发学生“探究”的本性，于“变”中把握“不变”，满足人的好奇本性。1探索规律对“模式”的初步认识标准把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要内容，“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”的思想，发现规律就是发现一个“模式”。(1)对数或者图形排列规律的探索探索图形排列中的规律一年级下
5、册：你发现了什么？如果按照这样的规律继续下去，后面一个应该是什么？摆一摆、涂一涂、接着摆等问题。重点突出刻画的是相同的规律，而这个一般化的过程就是对函数的一个最基本的性质周期的渗透。探索数列中的规律也多出现在第一学段的各册教材中。一年级下册：百数表中的规律，在“百数表”中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外，还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律中蕴含着多种变化的模式。（2）对运算规律的探索如：数的组成：学生把8个物体分成两部分，把其中一部分中一个一个向另一部分“转移”，得出把8分成两部分可以有四种不同分
6、法的结论的同时，还会发现“随着一部分多1个，另一部分必然少1个”的规律。对于“乘法中的运算规律”的探索：乘法口诀的学习是“一串一串”的，使得在学生编口诀、背口诀的过程中就发现了：“一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化”的规律。乘法口诀表中，更是集中体现了这个规律。六年级下册正反比例意义的学习是对变化“模式”的一次集中探索，这一内容的学习中，以表格的形式呈现了多种不同的变化规律。2基本数量关系、图形位置与变换对“关系”的体验函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”。（1）体验“一对一”“多对一”“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。数数：名数与常数建立“一一对应”在认数110时，
7、呈现将物体的个数与点子图进行一一对应的图像，在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。比大小：同样多的部分“一一对应”；在教学比大小时又都呈现将两部分物体分别排列起来，一一相对，渗透一一对应的思想乘法口诀：一个因数不变时，积与另一个因数“一一对应”找规律填数:数列中的每一个数与它的项数“一一对应”折线统计图：一组数据与统计图中的一个点“一一对应”通过折线统计图渗透函数思想。如：学生学习了折线统计图，他们就可以从下图中得到丰富的信息：一天中，骆驼的体温最高是多少？最低是多少？一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？第二天8时的体温与以前一天骆驼的体温有什么关系？
8、从图像中可以自然的向学生渗透变化的量等函数思想。教师进而还可出示骆驼随外界温度体温发生变化的折线统计图，引导学生对比分析两幅图的相同点、不同点，及其成因。讨论温度变化的周期。任何一个有序数对与坐标系上的点“一一对应”等等。将对应关系以图解的形式渗透，各册教材中均有类似如下的练习，使学生直观的体验到“像”与“原像”之间的“一一对应”。“多对一”的这种“关系”在小学不是很常见，但是学生也有一些体验。学习“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之间的无穷多个数四舍五入保留整数后都对应的是“4”“找次品问题”，次品数在10至27个时，均需要称量3次这些内容丰富了学生对于两个集合“关系”的认识。(2)
9、体验“两个或多个确定一个”“一个确定一个”在小学，学生接触更多的是“两个确定或多个确定一个”，即二元函数和多元函数。一、二年级，学生认识的加、减、乘、除四种运算就是算式左端的两个数与右端的一个数之间的“关系”。比如加法：这是一道看似普通的填空题，这里虽然尚未揭示“函数”概念，可当我们意识到题中对于另一个加数所取的每一个值，都将有唯一的值与之对应，即当一个加数不变时，和是另一个加数的函数时，它就可以作为函数思想的渗透点。周长、面积、体积公式：C=d(圆的周长=圆周率直径)，C是d的函数。S=vt(路程=速度时间)，当速度v固定时，S是t的函数。S=(三角形面积=底高2)，当a固定时，S是h的函数
10、。圆面积公式S=r2，这些公式不仅有一次函数还有二次函数。其它一些三量关系：速度、时间、路程；单价、数量、总价等。这些给了学生很多对多元函数自变量与因变量之间“关系”的感受。需要注意的是，当已知两个量单纯地计算出另一个量是多少时，这仅仅是计算问题，在此解决过程中并没有蕴涵函数的思想，因为没有变化过程，这只是一个简单的算术问题。例如:“体积的问题”源于教材中的一个练习，一块长30cm、宽25cm的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长是5cm的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮，它的容积是多少?”这个问题就只是一道简单的计算题，当然问题解决过程中也发展了学生的空间观念。但是如果将原题中的规定
11、“切掉边长是5cm的正方形”改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米的正方形时，铁盒的容积最大”问题就由静止变得动态起来。借助这样运动、变化的过程，对学生进行函数思想的初步渗透。小学教材中以各种素材、各种形式提供给学生大量关于集合之间“关系”直观经验，对“关系”的体验使学生对变量之间的相依关系有了初步的认识，而这种变量间的相依关系恰恰就是函数概念的本质。3.字母表示数、表格、图像等对多种数学语言的感受和初步使用由于函数反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以外的符号来表示。常用的有：语言描述、表格、图像和解析式四种方法。（1）感受和使用字母语言一般的函数解析式都是借助字母来表达的。引进字母表示，是
12、用符号表示数量关系和变化规律的基础。学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程，需要经历大量的活动，积累丰富的经验。教学加法和乘法运算定律时，出现用字母表示各种运算定律，使学生初步感受字母可以表示一般意义上的数。（2）感受和使用表格语言表格的方法在小学数学教材中的地位是十分突出的。首先，表格作为学生发现规律的重要工具出现在运算规律探索、公式的推导、图形的变化规律的探索等内容中。如五年级长方体体积公式的推导，教材中就是通过用体积单位拼摆长方体后填表格，进而归纳出长方体体积的计算公式的。其次，表格是学生表达数量之间关系的一个重要工具。如，“找次品”问题中，所测物品个数与称量次数之间
13、的关系借助语言和表达式对小学生来说都有一定的困难，借助表格来表达最恰当不过的了。(3)感受和使用图像语言图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图像表示以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用，它是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。学生最初看到的函数图像是四年级学习的折线统计图，统计图使变量变化的过程变得直观形象，学生感受到不用“算”通过“看”便可以比较出不同变化幅度的大小；六年级成正比例的两个量的图像绘制，使学生初步感受到成正比例的两个量的变化是“连续”(当然这还不是真正的连续)的，任意两点之间还有无穷多个点对应的两个数值也是两个变量可以取到的值。小学数学中的函数图像与真正的函
14、数图像有一些差别的，如只有第一象限的图像，横轴与纵轴单位长度的不统一，但这些并不影响学生借助图像“看见”变量间的关系，了解不同的变化情况。总之，小学数学教材中渗透函数的本质变化与对应、不同类型函数、函数的不同表示法的教学内容处处都有，这些内容的学习可以极大的丰富学生对函数概念的早期经历，丰富了学生对变量及变量之间关系的直观体验，对学生的后续学习有着重要的意义。问题4：为学生提供更多运用函数思想解决问题的机会函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。例如
15、，心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。例如，股市行情图也是反映了一种函数关系。函数思想的获得，一方面是教师在课中有意的渗透，但更多的是靠学生在学习过程中不断反思、领悟。只有这样，才能对函数思想有所认识，对数学的理解一定会由量的联系发展到质的飞跃。总之，函数思想是留给学生探索更高一级数学奥秘的窗口，是使学生视野开阔、思想活跃，获得进一步学习和探索能力的重要途径。同时，函数思想在小学阶段要以渗透为主。所谓渗透，就是有机地结合数学知识的教学，采用教者有意，学者无心的方式，通过逐步积累，让学生对函数思想的认识由浅入深，由表及里，渐进地达到一定的认识高度，从而自觉地运用之。函数思想全部隐含在数学教学内容之中的，要做好渗透，教师就要站在整体的高度，从教材、学生、教学方法综合考虑，既要抓住典型的渗透点，又要研究适合学生年龄特征的教学设计。以达到教师在小学教学中有意识、有目的、有计划的渗透函数思想。二、小学数学教学中模型思想的使用策略在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生握住数学的本质。问题1：什么是模型？模型
