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1、类型一：正比例函数与一次函数定义1、当m为何值时，函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件kwo,函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数，am=-2.，当m=-2时)函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数.“如果函数”(网是正比例函数，那么().A.m=2或m=0B.m=2C.m=0D.m=1:考虑到x的指数为1,正比例系数kwQ即|m-1|二1；m-20,求得m=0,选C已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x=4时，求y的值；(3)当y=4时，求x的值.(1)由于y-3与x
2、成正比例，所以设y-3=kx.把x=2,y=7代入y-3=kx中，得7-3=2k,k=2.，y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.(2)当x=4时，y=2X4+3=112(3)当y=4时，4=2x+3,，x=5.类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y=2x+b,再将点(2,-1)代入，求出b即可.由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,图象经过点(2,-1),.-l=2X2+bb=-5,所求一次函数的表达式为y=2x-5.求函数的解析式常用的
3、方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。【】已知弹簧的长度y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg)的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式.题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b,再由已知条件可知，当x=0时，y=6;当x=4时，y=.求出k,b即可.设这个一次函数的表达式为y=kx+b.由题意可知，当x=0时，y=6;当x=4时，y=.把它们代入y=kx+b中得6=01.-03.，这个一次函数的表达式为y=+6.“已知直线y=2x+1.(
4、1)求已知直线与y轴交点M的坐标；(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k,b的值.直线y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，两直线上的点关于y轴对称.又.直线y=2x+1与x轴、y轴的交点分别为A(-Q,0),B(0,1),J._.A(石，0),B(0,1)关于y轴的对称点为A00),B(0,1).，直线y=kx+b必经过点A(5,0),B(0,1).把A(3,0),B(0,1)代入y=kx+b中得；。十瓦.卜1.k=-2,b=1.所以(1)点M(0,1)(2)k=-2,b=1“判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.由于两点确定一条直线，故选取其
5、中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上.设过A,B两点的直线的表达式为y=kx+b.由题意可知，l-3t+t,：-23瓦.占7 过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.，当x=4时，y=4-2=2. 点C(4,2)在直线y=x-2上. 三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一条直线上.类型三：函数图象的应用3、图中的图象(折线ABCDE5描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了km;(2)
6、汽车在行驶途中停留了h;(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为km/h;(4)汽车自出发后3h至之间行驶的方向是.读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离.汽车来回一次，共行驶了120X2=24睛米)，整个过程用时小时，平均速度为240+=千米/时)，行驶途中时一2时之间汽车没有行驶.240;(2);(3);(4)从目的地返回出发点.这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表
7、示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.s与时间t的“图中，射线1、l分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程函数关系，求它们行进的速度关系。比较相同时间内，路程s的大小.在横轴的正方向上任取一点，过该点作纵轴的平行线，比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快“小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A,再走下坡路到达点B,最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()分钟分钟分钟分钟400“：D分析：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡
8、速度为200米/分；走平路速度为100米/分。原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟,共20分钟。“某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：(1)洗衣机的进水时间是多少分钟清洗时洗衣机中的水量是多少升？(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.求排水时y与x之间的关系式；如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.依题意解读图象可知：从04分钟在进水，415分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水.(1)洗衣机的进
9、水时间是4分钟；清洗时洗衣机中的水量是40升；排水时y与x之间的关系式为：y=40-19(x-15)即y=-19x+325如果排水时间为2分钟，贝Ux-15=2即x=17,此时，y=40-19X2=2.所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升.类型四：一次函数的性质4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A(6,0),交y轴于点B,HAOB的面积为12,y随x的增大而增大，求k,b的值.设函数的图象与y轴交于点B(0,b),则OB坐I,由4AOB的面积，可求出b,又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值.直线y=kx十b与y轴交于点B(0,b),点A在直线上，则口&,由皿，即3
10、”,解得。-以代入，可得，由于y随x的增大而增大，则k0,取则该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。“已知关于x的一次函数叨+(1) m为何值时，函数的图象经过原点？(2) m为何值时，函数的图象经过点(0,2)?(3) m为何值时，函数的图象和直线y=-x平行？(4) m为何值时，y随x的增大而减小？(1)由题意，m需满足”根次加3,故m=3时，函数的图象经过原点；(2)由题意得：m需满足=故国画加，函数的图象经过点(0,2);-2+18*0n陆工土3p侍/(3)由题意，m需满足口-iT1梯=1,故m=4时，函数的图象平行于直线y=x;(4)当3m3时，y随x的增大
11、而减小.“若直线耳ZMJ(cQ)不经过第一象限，则、的取值范围是上,b：(k0;b0)分析：直线不经过第一象限，有可能是经过二、四象限或经过二、四象限，注意不要漏掉经过原点的情况。直线i：冷与直线i：菰在同一坐标系中的大致位置是().A.B.C.D.:C;分析：对于A,从l看k0,b0,从l看b0,所以k,b的取值自相矛盾，排除掉Ao对于B,从l看k0,b0,k0,所以k,b的取值自相矛盾，排除掉B。D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求。“函数 广版”玳及餐必在直角坐标系中的图象可能是().【】：B;分析：不论k为正还是为负，阳都大于0,图象应该交于x轴上方。故选B类型五：一次函数综合5、
12、已知：如图，平面直角坐标系中，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D,交线段AB于点E。(1)求/OAB的度数及直线AB的解析式；(2)若OCD与4BDE的面积相等，求直线CE的解析式；若y轴上的一点P满足/APE=45,请直接写出点P的坐标。所以/OAB=45 (2) AOCDABDEE点坐标，从而得到 CE的解析式；(1)由A,B两点的坐标知，4AOB为等腰直角三角形，的面积相等，等价于4ACE与4AOB面积相等，故可求因为E为AB中点，故P为(0,0)时，/APE=45.(1) .A(1,0),B(0,1),，OA=OB=1,4AOB为等腰直角三角
13、形/OAB=45设直线AB的解析式为：y=kx+b,将A(1,0),B(0,1)代入,解得k=-1,b=1直线AB的解析式为：y=-x+1即二一一：二,将其代入y=-x+1,得E点坐标()设直线CE为y=kx+b,将点C(-1,0),点E()代入鼠 . 邛=， AP w 44匕直线CE的解析式：二.点E为等腰直角三角形斜边的中点当点P(0,0)时，/APE=45.考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。“在长方形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,点P沿边按ZB-C-D的方向向点D运动(但不与A,D两点重合)。求4APD的面积y()与点P所行的路
14、程x(cm)之间的函数关系式及自变量的取值范围。“：当P点在AB上运动时,当P点在BC上运动时,当P点在CD上运动是，“222F2xS一寸子.丫-6(37：7J.:0be).口如图，直线*二点-管与x轴y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)。(1)求北的值；(2)若点P(f,：，)是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出4OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)探究：在(2)的条件下，当点P运动到什么位置时，4OPA的面积为，并说明理将E(-8,0)代入I卜4.彳导;3.一工+办(2)设P点坐标为(4)-Ci4|*|r?,-jc+ZS=T1r244(-8x0)Q2713(3)令。园，解得2,二-代入一二，算出P点纵坐标为iI_13当P点的坐标为玄司时,4OPA的面积为.
