数学名题趣1（教育精品）

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1、 数学名题趣谈1858 年，一个叫莱因特的英国人得到了一部古代手稿。这部手稿出土于古埃及首都的废墟里，这是一份古老的数学文献，后来人们称这本书叫莱因特纸草书。书中共有 85 个数学问题，其中，最有名的是第 79 题。 在书上这个题目的位置上，给出了 5 个数， 7 、 49 、 343 、 2401 、 16807 。然后在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样。这就是第 79 题的全文。 书中的其它题目都有解答，唯独这个题目没有给出答案。这道题目究竟是什么意思呢？ 著名数学史专家康托尔认为：“有 7 个人，每人养了 7 只猫，每只猫吃 7 只老鼠，每只老鼠吃 7 棵麦穗，每棵麦穗

2、可以长成 7 个量器的大麦，问各有多少？” 这 5 个数有一个很奇特的性质：排在后面的数都是它前面那个数的7倍。 7 7 49 ，49 7 343 ， 343 7 2401 ， 2401 7 16807 。这样的一列数在数学上称“等比数列”。 有趣的是，在莱因特纸草书出土之前 600 多年，有位叫斐波拉契的意大利数学家，曾编了一道与这题非常相似的数学题：“ 7 位老太太一起到罗马去，每人有 7 匹骡子，每匹骡子驮 7 个口袋，每个口袋盛 7 个面包，每个面包有 7 把小刀，每把小刀有 7 个刀鞘。问各有多少？” 更有趣的是，比斐波拉契还早几百年，我国古代书籍里也记载了一道很相似的题目“今有出门

3、望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？” 俄罗斯民间流传着一首歌谣：“路上走着 7 个老汉，每人手里拿着 7 根竹竿，每根竹竿上有 7 个枝丫，每个枝丫上挂着 7 只竹篮，每只竹篮里有 7 个竹笼，每个竹笼里有 7 只麻雀。总共有多少只麻雀？” 在不同的民族，不同的地区，不同的时间里，竞流传着同一个数学问题，真可算是一桩数学奇观。 祖冲之 祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家。祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的

4、计算。秦汉以前，人们以径一周三做为圆周率，这就是古率。后来发现古率误差太大，圆周率应是圆径一而周三有余，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法-割圆术，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接96边形，求得=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的值越精确。祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出在3.1415926与3.1415927之间。并得出了分数形式的近似值，取为约率 ，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近值的分数。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查。若设想他按刘徽的

5、割圆术方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把=叫做祖率。祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了大明历，开辟了历法史的新纪元。祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：幂势既同，则积不容异。意即，位于两平行平面

6、之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为祖暅原理。百钱买百鸡 相传在南北朝时期（公元 386 年公元 589 年），我国北方出了一个“神童”，他反映敏捷，计算能力超群，许多连大人一时也难以解答的问题，他一下子就给算出来了。远远近近的人都喜欢找他计算数学问题。 “神童”的名气越来越大，传到当时宰相的耳中。有一天，宰相为了弄清“神童”是真是假，特地把“神童”的父亲叫了去，给了他 100 文钱，让第二天带 100

7、 只鸡来。并规定 100 只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有，而且不准多，也不准少，一定要刚好百钱百鸡。 当时，买 1 只公鸡 5 文钱，买 1 只母鸡 3 文钱，买 3 只小鸡才 1 文钱。怎样才能凑成百钱百鸡呢？“神童”想了一会，告诉父亲说，只要送 4 只公鸡、 18 只母鸡和 78 只小鸡就行了。 第二天，宰相见到送来的鸡正好满足百钱百鸡，大为惊奇。他想了一下，又给了 100 文钱，让明天再送 100 只鸡来，还规定不准只有 4 只公鸡。 这个问题也没有难住“神童”。他想了一会，叫父亲送 8 只公鸡、 11 只母鸡和 81 只小鸡去。还告诉父亲说，遇到类似问题，只要怎样怎样就行了。第二天，宰相

8、见到了送来的 100 只鸡，赞叹不已。他又给了 100 文钱，要求下次再送 100 只鸡来。 岂料才一会儿，“神童”的父亲就送来了 100 只鸡。宰相一数：公鸡 12 只、母鸡 4 只、小鸡 84 只，正好又满足百钱百鸡。 这个“神童”就是张丘建。他继续勤奋学习，终于成为一个著名的数学家。他的名著张丘建算经里，最后一个题目就是这个有趣的“百鸡问题”。 “百鸡问题”是一个不定方程问题。 X+y+z=100 设买公鸡、母鸡和小鸡分别为 x 、 y 、 z 只，依题意可得方程组： 5x+3y+ =100 另外再设一个整数参数 k ，就有： x=4k , y=25 7k , z=75+3k 。 因为鸡

9、数 x 、 y 、 z 都只能是正数，所以满足这组式子的 k 值只能是 1 、 2 、 3 。分别用 1 、 2 、 3 去替代式子中的 k ，算出的答案正好与张丘建的一模一样。 在张丘建生活的那个年代，人们还不会列出方程组，那么，他又是怎样算出题目的几个答案的呢？ 原来，张丘建发现了一个秘密： 4 只公鸡值 20 文钱， 3 只小鸡值 1 文钱，合起来鸡数是 7 ，钱数是 21 ；而 7 只母鸡呢，鸡数是 7 ，钱数也是 21 。如果少买 7 只母鸡，就可以用这笔钱多买 4 只公鸡和 3 只小鸡。这样，百鸡仍是百鸡，百钱仍是百钱。所以，只要只有求出一个答案，根据这种法则，马上就可以求出其它的

10、答案来。 这就是驰名中外的“百鸡术”。 摘自李天华的数学奇观 把数学题编成歌谣真是个绝妙的主意。瞧： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 渔人观看忙向前，花离原位两尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅。 只要度上几遍歌谣，就牢牢记住了这个数学题。 这首歌谣也就是著名的“印度莲花问题”，题意如图所示：一朵莲花 (C) 原先比湖水高出半尺 ( 即 BC= ) ，茎杆在 B 处露出水面。一阵风吹来，将莲花刮到离 B 处两尺远的地方 ( 即 BC=2) 。这时，荷花的顶端刚好露出水面，求湖水有多深 ( 即 AB=?) 。 这个题目不算太难。图中的 A 、 B 、 D

11、三点可以联成一个直角三角形，其中， BD 是直角边，长度是 2 尺； AB 是另一条直角边，表示湖水的深度，是未知量； AD 是斜边，它与荷花茎杆的长度 AC 相等。这样，想知道湖水有多深，也就归结为怎样用勾股定理算出 AB 的长度。 不妨设 AB 的长度为 x 尺。由于 AC=AD ，所以 AD 的长度是（ ）尺。根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，于是有： 牛顿问题 牛顿是 17 世纪英国最著名的数学家。他不仅勇于探索高深的数学理论，也很重视数学的普及教育，曾专门为中学生编写过一套数学课本。牛顿认为：“学习科学时，题目比规则还有用些。”所以在书中编排了许多复杂而又有趣的数学题，

12、用来锻炼学生的数学思维能力。下面这个题目就是书中一道著名的习题。 “有三块草地，面积分别是 3 公顷、 10 公顷和 24 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地可以供 12 头牛吃 4 个星期，第二块草地可以供 21 头牛吃 9 个星期，那么，第三块草地恰好可以供多少头牛吃 18 个星期？” 这个题目的确复杂而又有趣。因为在几个月的时间里，被牛吃过的草还会长出新的青草来，而这些青草的生长量，又因为时间的长短、面积的大小而各不相同！ 牛顿潜心研究这些题目，发现了好几种不同的解法。他认为，下面这种比例解法最为有趣。 首先，假设草地上的青草被牛吃过后不再生长。因为“ 3 公顷草地可

13、以供 12 头牛吃 4 个星期”，按照这个比例， 10 公顷草地可以供 8 头牛吃 18 个星期，或者说可以供 16 头牛吃 9 个星期。 由于实际上被牛吃过的草还会长出新的青草来，所以题中说：“ 10 公顷草地可以供 21 头牛吃 9 个星期。”把这两个结果比较一下就会发现，同样是 10 公顷草地，同样是 9 个星期，却可以多养活 21 16 5 头牛。 这 5 头牛的差额表明，在 9 个星期的后 5 周里， 10 公顷草地上新生的青草可供 5 头牛吃 9 个星期。也就是说，可以供 2.5 头牛吃 18 个星期。 那么，在 18 个星期的后 14 周里， 10 公顷草地上新生的青草可供多少头

14、牛吃 18 个星期呢？由 5 ： 14 2.5 ：？，不难算出答案是 7 头牛。 接下来综合考虑 18 个星期的各种情况。 前面已经算出，假设草地上的青草被牛吃过后不再生长时， 10 公顷草地可以供 8 头牛吃 18 个星期。因此 10 公顷草地实际上可以供 8 7 15 头牛吃 18 个星期。按照这个比例，就不难算出 24 公顷草地可供多少头牛吃 18 个星期了。 10 ： 24 15 ：？ 显然，是 36 。36 就是整个题目的答案。 欧拉问题 无独有偶。大数学家欧拉也很重视数学的普及教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识，为学生编写数学课本。尤其感人的是， 1770 年，年迈的欧拉双目都已

15、失明了，仍然念念不忘给学生编写关于代数学的全面指南。这本著作出版后，很快就被译成几种外国文学流传开来，直到 20 世纪，有些学校仍然用它作基本教材。 为了搞好数学普及教育，欧拉潜心研究了许多初等数学问题，还编了不少有趣的数学题。也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一，这些题目流传特别广。例如，在各个国家的数学课本书籍里，都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。 “两个农妇带了 100 只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样，赚得得钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说：如果我有你那么多的鸡蛋，我就能赚 15 枚铜币。第二个农妇回答说：如果我有你那么多的鸡蛋 , 我就只能赚 枚铜币。问两个农妇各带了多少只鸡蛋？” 历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前 3 世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题： “驴和骡驮着