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1、向量及向量的基本运算一、教学目标：1.理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件.2. 会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题.不 断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则.三、教学过程：（一）主要知识：1）向量的有关概念、 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,q来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB。向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |。 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。 单位向
2、量：模为1个单位长度的向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。记作-笊 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为a = b。2）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB = a, BC = b，则a + b = AB + BC = AC。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）0+a = a+o = a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；3）向量的减法 相反向量：与万长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作-a
3、，零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）（a）= a ；（ii） a +（- a ）=（ a ）+ a =0； （iii）若a、b是互为相反向量，则a = b ,b = a,a + b =0。 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：ab = a+（b）。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。ab的作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向
4、量的起点指向最后一个向量的 终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4）实数与向量的积实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：（i）I衍=m-a；（ii）当人。时，入a的方向与a的方向相同；当人 。时，入a的方向与a的方向相反；当人=0时，入。=。，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设入、u为实数， 则 入（u a）=（入u） a （入+ u） a=入 a+ua*fc- 入（a+b）=入a+入b5）两个向量共线定理向量b与非零向量a共线O有且只有一个实数人，使得b =杼。6）平面向量的基本定理如
5、果1,2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数人，人使：a = X e +X e其中不共线的向量e ,e叫做表示这一平面内所有向量的 12112 212一组基底。7）特别注意：（1）向量的加法与减法是互逆运算。（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）而向量平行则包括共线（重合）的情况。（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关。（二）主要方法：1 .充分理解向量的概念和向量的表示；2. 数形结合的方法的应用；3. 用基底向量表示任一
6、向量唯一性；4. 向量的特例0和单位向量，要考虑周全.（三）例题分析：例1、判断下列各命题是否正确（1）零向量没有方向（3）单位向量都相等（5）两相等向量若共起点，则终点也相同若 a / b， b / c，贝g a / c卜口AB = CD, BC = DA（2）若 a = b，则a = b（4）向量就是有向线段（6）若 a = b，b = c，则 a = c ；（8）若四边形ABCD是平行四边形，则1（9）已知A （3，7），B （5，2），将AB按向量a = （1，2）平移后得到的向量AB的坐标为(3, 3)（10） a = b的充要条件是I a 1=1 b I且a /b ；解：（1）不正
7、确，零向量方向任意，（2）不正确，说明模相等，还有方向 （3）不正确， 单位向量的模为1,方向很多 （4）不正确，有向线段是向量的一种表示形式（5）正确， （6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若b = 0，则不共线的向量a, c， 7C也有a/0，0/c。（8）不正确，如图A气 AB = CD,BC。DA（9）不正确，l x，= x + 1/ a = （1，2），二平移公式是 , C，将A （3，7 ），B （5，2）分别代入可求得 V = j + 2A（4,9）,B（6,4），故 AB； = （6,4）-（4,9） = （2,5）。（10）不正确，当a / b，且方向相反时，即使i
8、a i=i b i，也不能得到a = b ；点评正确理解向量的有关概念例2、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM, 线段 CD 上有一点 N 满足 CD =OA = a, OB = b,试用 a, 5表示0心,ON, MN, 1 1C ) 1 () .BM =-BA = OA - OB，=-b666142CN = -CD,. ON = -CD = -OD333-)11 -+ bMN = ON - OM =-a b26解：BM = 1 BC = 1 BA, 361 - 5 . OM = OB + BM =-a + b（6 ） 一OA + OB仁一
9、3点评根据向量的几何加减法则，能对图形中的向量进行互相表示练习：-2- 2ON = -OD =-33ABC 2 、. 一一 、，,，、. 一 、f 一中,AD = 3 AB, DE / BC交AC于E, AM是BC上中线交2内于N.设AB = a, AC = b,用a, b分别表示向量AE, BC, DE, dN , AM, AN.如图 () 1 b a DN =- b+a) 33解：AE = b, BC = b a, DE =3 ) .1+ a ,- 练习：已知G是ABC的重心，求证：GA + GB + GC = 0证明：以向量GB,GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB + GC = GE
10、 = 2GD，又由G为IIIriIII ABC 的重心知 AG = 2GD，从而 GA = 2GD，.GA + GB + GC = 2GD + 2GD = 0。例5、设e ,e是不共线的向量，已知向量AB = 2e + ke ,CB = e + 3e ,CD = 2e e ,若 12121212A,B,D三点共线，求k的值分析:使AB = X BD解：BD = CD CB = e1 4e2 ,使 AB = XBD :. 2e； + ke；=M % 4e2) 得 X = 2, k = 4人 n k = 8点评共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决例3.经过AOAB重心G的直线与OA, O
11、B分别交于点P，Q，设 OP = mOA,OQ = nOB，m,n g R，求1 + 的值。n m解：设OA = a,OB = b，则U oG = !(a +1)， PQ = nb ma3PG = OG OP = (A m)a +1 b3 3由P, G, Q共线，得存在实数人，使得PQ = X PG，即方-ma = X(1 - m) + 1词33-m = X (3 - m)n = -X3(四) 巩固练习:1.已知梯形 ABCD 中，I AB 1= 21 DC I，M， ad=e2，用 e，e2 表示 dc、bc、N分别是DC、AB的中点，若AB = e1， MN.解：(1)(2)(3)DC =
12、 1 AB =匕22BC = bA + AC = - AB + AC = AD + DC - AB = AD - 1 AB = 7 - 1 7222 1MN = MD + DA + AN = - 1 AB AD + 1 AB = 1 AB AD = 1 7 云4244 122(1 ) 设两个非零向量71、 e 2不共线，如果 - AB = 2e1 + 3e2,BC = 6e1 + 23e2,CD = 4e1 - 8e2 ,求证：A,B,D 三点共线.p.(2 ) 设e1、 e 2是两个不共线的向量，已知AB = 2e + ke , CB = e + 3e , CD = 2e - e，若 A, B, D 三点共线，求k 的值. 1_2 一 12 一 一 12(1) 证明：因为BC = 6： + 23厂CD = 4-87所以 BD = 10e + 15e又因为AB = 2e + 3e得 BD = 5 AB即 BD / AB又因为公共点B所以A,B,D三点共线；(2) 解：db=cb-cd=e+37-2+e=47-e121221ab=2+ke因为a,B, D共线所以AB / DB设 DB = X ABA
