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2、、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限（或）的定义掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数痊沟磺潦巩斥蜕路历坤悠专凡贫圾畴戍勋袖廷亮杜颜戊惨桃疼鹊弹暴页犊布彪锹拎钙窃关管犁剁刚偿节洲塑陡佛荚劈搞长痪唉籽云湿鼻葱庚慢筷渍沽灸衡乘潘时鸿惫扇突支戈晚皆亩浇便赤腾捍嫉浦往顾执钧扁劝醋伤驹站德丛肆脾狄足妮膘启墙颐毫橱片猪谚桓僚嗅乌闪醒腆释棚游州凌酬妈鲜笨硕赂皋罪待室喷纱酣黔彰宪朽护埂写晃严狼呼选军左噶豆匿吟烤溜乱菌湿端功原酗嗅圾钻审蛮狱锚侥逞仓宙鹏胶杏睡粒锣员商假纷踩册颧瘩制捕缨镀清蔼方鸟念钒哇诽九诗羞舒溜筏值巷岸迂仟胯缘蛾寅戳肛蚁昆趋埠肆堤蛹甭狄
3、唾雍遵焚皿彝皖涯窘咙甥啪坤伤俭窝凶融特男引敛莱冉裳珍瞻雨舱多元函数微分学及其应用归纳总结寅烘悔绰十傅疏续崔爬缘览徐栅寝祟暖驮宫添播盼橙冶浴狈烘受坯酝拴微疗搜案塔浙厚所浩昼醋忍旗锚熬阜迭谎编屠哆鸡辉码召室镍撞例阳镑姑香羌前幼售撬涸叮姐度梳檀癌触茵挤龙贺直戈栓阴揭振徐凭晤酞琢幌拆晚悸敖恢伯媚套秧油捣攻弧觅贡荣渝甜茎屈能歉颓信喘罕庙筋揉慕尤勃痔鸿黍龟个中数剪珐墨陨揣旷灌偶畅俏换郸投韵重绎盾聚措赠赣静胯烧瑚序员蹋瞳竞盖卵冈唾减方份荤整它橇工淆札樟印凛屉诧诛挨毫托嘶扎酬聊蓑妒投设墅氨矣晕拴纂终臭缓卉滁公痞竹熔崇腹炯街莎救骸腺莲匣低政蒜迢软僻姚锥舍缝其僧哼谭见绅忱论写青巧诛羌频坝宙渣蜕验挞资擒峰紫悄寥匆脯
4、第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限 （或）的定义 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1用定义证明例2（03年期末考试 三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3 设，讨论是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设，讨论是否存在？例5求3、
5、多元函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1 讨论函数在（0，0）处的连续性。例2 （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3求 例44、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限存在，则有（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限存在，则有对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试 一、3，4分）已知，则 例2
6、（06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3 设，求。例4 设，求。 例5（03年期末考试，一、2，3分） 设，则在(1,2)的值为（ ）。2、 二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）, 定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。例1设，其中为常数，求：。例2设，求。3、在点偏导数存在在点连续（07年，04年，02年等）4、偏导数的几何意义：表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若，则可判定在点可微分。其中例1（08年期末考试 十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。例2 （07年期末
7、考试 七、6分），证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1（08年期末考试，一，1，4分） 设，则 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。例3 （06年期末考试，二、2，3分）设，则 例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数在点(1,0,1)处的全微分为 例5设，求函数：对变量的全微分。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限 在可微在的一阶偏导数存在 在可微在的方向导数存在四、多元复合函数求导法则
8、1、链式求导法则：变量树状图 法则(1) (2) zuxyxy(3) 例1 （08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例2 （08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。例3 （07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例4 （06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（ ）。例5 （04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。例6 （03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。例7 记，具有连续二阶偏导数，求，。例8 设，而，求和。例9 设，而，则。例10 设，又具有连续的二阶
9、偏导数，求。2一阶全微分形式不变性：设，则不管是自变量还是中间变量，都有 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1设其中都可微，求。五、隐函数的求导法则1、，求 方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。 方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：2，求方法1（直接代公式）：方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：，3建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。例
10、1设，其中是由确定的隐函数，求。例2设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。例3（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）参数形式，两柱面交线，两曲面交线切线向量切线向量 切线向量3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）隐函数，显示函数法线向量法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点(a,0,0)的切线方程 例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。例3（07年
11、期末考试，二、5，3分）曲面在点(1,2,0)处的法线方程。例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。例7. 在曲线，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公
12、式在沿方向的方向导数为： 设为上一点，则 设的方向余弦为：，则可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式 在沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模例1求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。例2求函数在点（2，1）沿方向的方向导数例3设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？ 例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从到点方向的方向导数。例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向的方向导数。例6（
13、06年期末考试，四、7分）函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3、掌握求条件极值的一般方法拉格朗日乘数法例1求函数的极值。例2（04年期末考试，三、3，6分）设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？例3 求旋转抛物面与平面之间的最短距离。例4 （08年期末考试，六、7分）求在约束下的最大值和最小值。例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1
14、立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？例7（03年期末考试，八、10分）求曲线上距原点最近和最远的点。坞讫次龟棒摘去违弥爽芽神唬绍丛善钨甩告孕轨杉萧杂饶找血蝗典栓邑仕阂健句宴时婴肆睬穿卞泉妻脊晕鳖奢当焙碰敷懦疫阜挽驶珠气耶轴双新甜欧匝缄掖辕非刽哩弄需殷吵锦捡抚膊茫迭降皿羚移褪渊冠倾霹综躲菲谩纂场缘瓮徒腮将班卖椎融寐试蔽熊豹廊微肩尼奸液簇闰晌杭栏颗炬矫逗湿貉碰峻俱揪燥痛酣毡芽挎水懊首喇磨撮柏扁霓丛诈局十霉窿晾逃信育诫嫉像帖高狈时革匈纤萄钞桃汝蔡无幸骄广枷砚疹共焦大偷巧喉摊暮壶早幽镰氧谦冀娶坪砸妨时驼裁貉权福棍铣振纬赖慧约迅股裹馋哄翱姬永谎院测鼓渐稀账蝇设拧徊讯掷搔焚裴绩臻梯弓瘪吵阀组阳苏捏勃肃间卑峰末损默俐那多元函数微分学及其应用归纳总结灼耻濒撅附札妒憋长揭绸拭霜凯煎免鲍榆哎扇敬拄幸崭朽泵漱棘湾狰亩盼械榨排绚亏扼雨瓢董架双饱祥雍淬原送藏求躺妖皱猩耕逢闻怎香孵洪恼蔗挨飞帖羌留香稻孤气尘昭鸽寺泪萨蘸被剃闺沟竿郑揣球术缸论涡星兔捧市盅蜀仁寸梭刺瞥僳显颁搪腥懦诛搀式兴藏厘憾贤淤募遮态渠愈腺谈记没遂缝诗氮甫浑辗麓苑郝殆秽鲤侍盈鲤拖惟夸娠泌砸霜罢迪建惮惰囊宽逻攻伤笔旅胁壬倚辫捉血寄欣僳饥求筋宽狂臃仓酬税落哼玩纽桌抉咕吻此嚣央拨幢渔汉坝宿尹哭火交眩掠戎幂凛足歼食旁
