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1、 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一基本不等式的常用变形1.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当 _时取“=”） 若，则 (当且仅当_时取“=”）2.若，则 (当且仅当_时取“=”） 若，则 (当且仅当_时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1 已知，且满足，则xy的最大值为 _。解：因为x0，y0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，故xy
2、的最大值3.变式：若，求的最小值.并求x,y的值解： 即xy=16 当且仅当x=y时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知，求函数的最大值。解：，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。例3. 当时，求的最大值。解： 当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。例4. 求的值域。解：当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。练习：1、已知，求函数的最大值.；2、 ，求函数技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处
3、理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。变式： （1）若且，求的最小值(2) 已知且，求的最小值2：已知，且，求的最小值。(3) 设若的最小值为（） A 8 B 4 C 1 D 解析：因为，所以。又所以，当且仅当即时取“=”。故选（）技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x
4、的值. （1） （2） (3) 的最大值.技巧六、已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧七：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb
5、 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u3 3，ab18，y点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧八、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的
6、不等关系，本题很简单 2 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。 技巧9：消元例1.设为正实数，则的最小值是_.技巧10.换元例1. 求函数的最大值. 练习题：1.若a0，b0
7、，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2 B3 C4 D52. 已知三个函数y2x，yx2，y的图象都过点A，且点A在直线1(m0，n0)上，则log2mlog2n的最小值为_3. 已知正数a，b，c满足：a2bc1则的最小值为_4. 设M是ABC内一点，且2，BAC30，定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是MBC，MCA，MAB的面积若f(M)，则的最小值是_5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年
8、平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？6. 设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（）A0B1CD37.已知_.8. 已知a0，b0，a+b=2，则y=的最小值是A B4 C D59. 设为实数，若则的最大值是 。10.已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是11. 设，则的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 B. 4 C. D. 11.习题答案：1. 为a、b的等差中项，ab21.ab111，ab.原式14.当
9、且仅当a=b=1/2时，的最小值为5.故选D.2. 由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线1(m0，n0)上，所以12，mn16，所以log2mlog2nlog2(mn)4，当且仅当m=n=4时，故log2mlog2n的最小值为4.3.答案64解析4222464，等号在，同时成立时成立即acb1时等号成立4.答案18解析|cos30|AB|AC|2，|AB|AC|4，由f(M)的定义知，SABCxy，又SABC|AB|AC|sin301，xy(x0，y0)2(xy)22(52)18，等号在，即y2x时成立，min18.5. 解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为150%50%，年销售收入为(150%50%)Q(32Q3)x，年利润W(32Q3)x(32Q3)x(32Q3x)(x0)(2)令x1t(t1)，则W50.t1，28，即W42，当且仅当，即t8时，W有最大值42，此时x7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元6.B；7.12；8.C；9. 10.解析：考察均值不等式，整理得 即，又，11.解析：w_w w. k#s5_u.c o*m224，当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.答案：D
