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1、高二数学导数、定积分测试题一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知函数f(x)=ax2c，且=2，则a的值为 A1 B C1 D 0y2ababaoxoxybaoxyoxyb若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A B C D3已知函数在处的导数为1，则 = A3 B C D4一质点做直线运动，由始点起经过ts后的距离为，则速度为零的时刻是 A4s末 B8s末 C0s与8s末 D0s、4s、8s末5曲线与坐标轴围成的面积是 A4 B C3 D26曲线在点处的切线方程为A B C D7已知函数的导函数的
2、图象如下图，那么图象可能是8若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ）A或 B或 C或 D或9已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t0所走过的路程为 A B C D10设函数则 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应位置）11若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ；12函数的单调减区间为 ；13设函数，若， ，则的值为 14设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ；15下列命题：若可导且，则是的极值点；函数的最大值为； 一质点在直
3、线上以速度运动，从时刻到时质点运动的路程为。其中正确的命题是 。（填上所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本题满分12分）计算下列定积分：（1） （2） （3）17（本题满分12分）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围18（本题满分12分）物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）19（本题满分12
4、分）已知函数（）讨论的单调性； （）设，求在区间上值域。其中=2.71828是自然对数的底数。20（本题满分12分）设函数（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。21（本题满分14分）如果是函数的一个极值，称点是函数的一个极值点。已知函数（1）若函数总存在有两个极值点，求所满足的关系；（2）若函数有两个极值点，且存在，求在不等式表示的区域内时实数的范围.（3）若函数恰有一个极值点，且存在，使在不等式表示的区域内，证明：。.参考答案1，解得，故选A。2（2009湖南卷文）解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率
5、是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢。3，故选B。4瞬时速度，令得，解得或或，故选D。5，故选C。6解：,故切线方程为,即 故选B。7解：从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快。8（2009江西卷文）解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.9，故选A。10解：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数
6、，在点处有极小值；又，故选择D。11解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或填。解法2 （分离变量法）上述也可等价于 方程在内有解，显然可 得12考查利用导数判断函数的单调性。解：，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13解：14解：若，则不论取何值，显然成立；当 即时，可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当 即时，可化为， 在区间上单调递增，因此，从
7、而，综上。15，则是的临界点，不一定是点，例如有，但在R上单调递增，故错误；函数，所以在区间上单调递增，所以得最大值为，故正确；由定积分的几何意义知表示圆心在原点半径为4的圆的上半圆的面积，故正确；令得，解得或，所以质点在直线上以速度运动，从时刻到时质点运动的路程为： 故错误。16解：(1) 原式=+= (2)原式=1 （3）原式=。17解析：（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得。18解：设A追上B时,所用的时间为依题意有即， ，=5 (s)所以 =13
8、0 (m)19解：(1)由于， 令当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时由得或或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时，由(1)知在上是减函数，在上是增函数。又函数在上的值域为20（）解：，令，得到因为， 当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得 因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是21解：（1） 令得 又 （2）在有两个不相等的实根.即 得 （3）由当在左右两边异号是的唯一的一个极值点由题意知 即 即 存在这样的的满足题意 符合题意 当时，即 这里函数唯一的一个极值点为由题意即 即 综上知：满足题意 的范围为.
