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1、2017届湖南师大附中高三上学期月考（四）数学（理）试题一、选择题1复数（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：,选D.【考点】复数的四则运算.2执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】试题分析：第一次循环,时,第二次循环,第三次循环,结束循环,输出,选B.【考点】程序框图.3设向量，均为单位向量，且，则与夹角为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：设与夹角为,由有,由于,所以,解出,因为,所以,选C.【考点】向量数量积.4设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是（
2、）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：对于,假设，因为,所以,又,所以,而,所以,正确；对于,若，则或,故错误；对于,若，则,又,所以在平面内一定存在一条直线,使,而,所以,则,正确；对于,由面面平行的判定定理,可以判断出是正确的.故真命题有个.选C.【考点】空间中直线、平面之间的位置关系.【易错点睛】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系,属于易错题. 易错的地方: 对于,要注意除了结论外另一种特殊情况:. 其余三个都是正确的.本题综合性强,方法灵活,考查了学生的空间想象能力,要注意直线、平面之间的判定定理和性质定理以及课本例题结论的应用.5已知函数
3、，的图象如图所示，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.【考点】基本初等函数的图象.6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由三视图该几何体是球的部分,由该几何体体积为,所以是半径为的球的,所以该几何体的表面积为,选D.【考点】由三视图求面积,体积.7已知数列，满足，且，是方程的两根，则等于（ ）A24 B32 C48 D64【答案】D【解析】试题分析：由已
4、知有,则,所以数列奇数项,偶数项分别为等比数列,公比为,可以求出,所以数列的项分别为:,而,所以,选D.【考点】数列的基本计算.8从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）A40种 B60种 C100种 D120种【答案】B【解析】试题分析：先排星期五,从人中选人有,种,再从剩下的人中选人参加星期六、星期日,有种,故共有种,选B.【考点】排列组合.9已知、分别是双曲线：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上（为原点），则双曲线的离心率为（ ）A B3 C D2【答案
5、】D【解析】试题分析：由已知有,设双曲线的一条渐近线方程为,即,则点到的距离为,设点关于渐近线的对称点为,交渐近线于,则,因为分别为的中点,所以,且,在中,所以,又,所以,离心率,选D.【考点】1.点到直线的距离；2.双曲线的简单几何性质.10如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由的定义,当时,则,若时,比如此时,所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分必要条件.11设直线：，圆：，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【答
6、案】C【解析】试题分析：圆半径为,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,此时四边形为正方形,边长为,所以对角线,故圆心到直线的距离,所以有,求出,选C.【考点】直线与圆的位置关系.【思路点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,属于中档题. 本题思路: 由切线的对称性和圆的知识,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,这样就转化为圆心到直线的距离小于或等于,再由点到直线的距离公式解不等式可求出的范围. 由已知得出圆心到直线的距离小于或等于是本题解题的关键.12若函数则当时，函数的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解
7、析】试题分析：先作出函数的图象,如图所示.当时,令有,则或,当,存在两个零点;当时,存在两个零点,故函数的零点个数为.选D.【考点】根的存在性及个数判断.【方法点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数的判断,属于中档题. 本题方法: 先画出函数的草图，求函数的零点个数,就是求的根的个数,利用分段函数的解析式,得到或,再转化为函数与的图象的交点个数,或者转化为函数与的图象的交点个数.做本题时注意数形结合思想.二、填空题13在二项式的展开式中，的一次项系数为 （用数字作答）【答案】【解析】试题分析：二项式的通项，令，此时的一次项系数为.【考点】二项式定理.14九章算术是我国古代内容记为丰富的数学名著
8、，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积（底面的圆周长的平方高），则该问题中圆周率的取值为 【答案】【解析】试题分析：圆柱体体积公式,而由题意有,所以.【考点】圆柱体的体积公式.15若，满足则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：画出可行域如上图阴影部分,令,当表示的是经过原点的直线,将变形为,在原点处,有最小值,在点处,有最大值,所以的取值范围是.【考点】简单的线性规划.【思路点睛】本题主要考查了简单的线性规
9、划,属于中档题. 本题思路: 先作出可行域,用阴影部分表示,在中,令表示的是经过原点的直线,在中,表示直线在轴上的截距(即纵截距),所以当纵截距最小时,有最小值,当纵截距最大时,有最大值,将直线向可行域内移动时,最先经过原点处,有最小值,最后经过点处,有最大值,所以的取值范围是.16函数的导函数的部分图象如图所示，其中，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点，若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为 【答案】【解析】试题分析：,它的图象与轴相交时,相邻的两个交点分别是,曲线段与轴所围成的区域面积为,而三角形的面积为,所以在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为.
10、【考点】1.定积分的计算；2.几何概型.【方法点睛】本题主要考查了型函数的图象和性质,以及定积分的计算和几何概型,属于中档题. 先利用定积分的几何意义,求出线段与轴所围成的区域面积,用到了微积分的基本定理,再求三角形的面积,最后用几何概型概率公式求出面积之比即为所求.求出线段与轴所围成的区域面积是关键.三、解答题17在中，角，所对的边分别为，函数（），的图象关于点对称（1）当时，求的值域；（2）若且，求的面积【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)先化简的解析式,再由的图象关于点对称,求出角,确定函数的解析式,再根据的范围,求出值域；(2)由正弦定理求出的表达式,代入已知式子中,求出的
11、值,再由余弦定理求出的值,最后由面积公式求出结果.试题解析：（1），由函数的图象关于点对称，知，即，又，故，所以，当时，所以，即的值域为（2）由正弦定理得，则，所以，即，由余弦定理，得，从而，所以的面积为【考点】1.三角函数式的化简；2.用正弦定理,余弦定理解三角形.18某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰为3:2（1）试确定，的值，并补全频率分布直方图
12、（如图）；（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人总随机选取3人进行问卷调查，设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望【答案】(1),频率分布直方图见解析；(2)分布列见解析,.【解析】试题分析：(1)由频率分布表中频数之和为以及“非网购达人”与“网购达人”人数比为,列出等式求出的值,再对应的求出的值；(2)先分别求出“网购达人”“非网购达人”的人数,再用超几何分布求出分布列和期望.试题解析：（1）根据题意，有解得，补全频率分布直方图如图所示：（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“
13、网购达人”有人；“非网购达人”有人，故的可能取值为0,1,2,3，所以的分布列为：0123所以【考点】1.频率分布直方图；2.超几何分布.19如图，正方形的边长为4，分别为，的中点，将正方形沿着线段折起，使得，设为的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，分别为线段，上一点，且平面，求线段长度的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【解析】试题分析：(1)先证明线面垂直:平面，再得到线线垂直:；(2)建立空间直角坐标系,求出坐标和平面的法向量,再用公式求出结果；(3)假设两点的坐标,求出二次函数最小值即可.试题解析：（1）证明：因为正方形中，分别为，的中点，所以
14、，将正方形沿着线段折起后，仍有，而，所以平面，又因为平面，所以（2）因为，所以为等边三角形，又，所以，由（1），又，所以平面设的中点为，连接，则，两两垂直，故以，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图则，所以，设平面的一个法向量为，由，得令，得，设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为（3）由题意，可设（），（），由，得，所以，由（2），得为平面的的法向量，因为平面，所以，即，所以，又因为，所以当时，所以当，线段长度有最小值【考点】1.线面垂直的判定定理；2.用空间直角坐标系求线面角等.20已知椭圆：的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论【答案】(1)；(2)点在以为直径的圆内，证明见解析.【解析】试题分析：(1)由已知条件的值,再写出椭圆方程；(2)要证明点在以为直径的圆内，只需证明为钝角即可,所以求出坐标,判断的符号得出为锐角，从而为钝角.试题解
