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1、习题七1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】因此np=所以p的矩估计量 2.设总体X的密度函数f（x,）=X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计.【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估计量为 3.设总体X的密度函数为f（x，），X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函数由知所以的极大似然估计量为.(2) 似然函数,i=1,2,n.由知所以的极大似然估计量为 4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：序号123456789
2、10收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】 由知,即有于是 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从0，上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计.【解】(1) ,令，则且,所以的矩估计值为且是一个无偏估计.(2) 似然函数,i=1,2,8.显然L=L()(0)，那么时，L=L()最大,所以的极大似然估计值=0.9.因为
3、E()=E(),所以=不是的无偏计.6.设X1，X2，Xn是取自总体X的样本，E（X）=，D（X）=2， =k,问k为何值时为2的无偏估计.【解】令 i=1,2,n-1,则 于是 那么当,即时,有 7.设X1，X2是从正态总体N（，2）中抽取的样本试证都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.【证明】（1）,所以均是的无偏估计量.(2) 8.某车间生产的螺钉，其直径XN（，2），由过去的经验知道2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95=0.0
4、5,的置信度为0.95的置信区间为.9.总体XN(,2)，2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使的置信概率为1-，且置信区间的长度不大于L？【解】由2已知可知的置信度为1-的置信区间为,于是置信区间长度为,那么由L,得n10.设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kgcm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率为0.95的置信区间.（2） 求2的置信概率为0.95的置信区间.【解】 (1) 的置信度为0.95的置信区间(2)的置信度为0.95的置信区间11
5、.设总体Xf(x)=X1,X2,Xn是X的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)又故所以的矩估计量 (2) 似然函数.取对数所以的极大似然估计量为12.设总体Xf(x)= X1,X2,Xn为总体X的一个样本（1） 求的矩估计量；（2） 求.【解】(1) 令 所以的矩估计量 (2)，又于是,所以13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,)= 其中(0)为未知参数，又设x1,x2,xn是总体X的一组样本观察值，求的极大似然估计值.【解】似然函数由那么当所以的极大似然估计量14. 设总体X的概率分布为X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2其中(01,0，设X1,X2
6、,Xn为来自总体X的样本（1） 当=1时，求的矩估计量；（2） 当=1时，求的极大似然估计量；（3） 当=2时，求的极大似然估计量. 【解】当=1时，当=2时, (1) 令,于是所以的矩估计量(2) 似然函数所以的极大似然估计量(3) 似然函数显然那么当时, ,所以的极大似然估计量.16.从正态总体XN（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,则于是则, n35.17. 设总体X的概率密度为f(x，)=其中是未知参数（01）,X1,X
7、2,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于1的个数.求：（1） 的矩估计；（2） 的最大似然估计. 解 (1) 由于 .令，解得，所以参数的矩估计为.似然函数为，取对数，得两边对求导，得令 得 ，所以的最大似然估计为.18.19.习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（=0.05）?【解】所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24
8、3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取=0.05）.【解】设所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的
9、寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取=0.05）.【解】所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，为总体均值，为总体标准差，试在水平=0.05下检验.（1） H0：=0.5(%)；H1：0.5(%).（2） =0.04(%)；0.04(%).【解】(1)所以拒绝H0，接受H1.(2)所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（，）.今从新生产的一批导线中
10、抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(=0.05)【解】所以接受H0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322
11、(%2)与0.5006(%2).若A，B所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为A2，B2，试在水平=0.05下检验方差齐性的假设【解】那么所以接受H0，拒绝H1.9.10.11.12.习题九1 灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？试验批号1 2 3 4 5 6 78灯丝材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】=69895900-69700188.46=195711.54,=69744549.2-69700188.46=44360.7,=151350.8,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.表9-1-1方差分析表方差来源平方和S自由度均方和F值因素影响44360.7314786.92.15误差151350.8226879.59总和195711.54252. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，记录其成绩如下：73 6688 7768 4189
