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1、一 . 知识归纳：1. 集合的有关概念。1) 集合 ( 集 ) ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合 ( 集 ). 其中每一 个对象叫元素注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述 给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性 (a?A 和 a?A ，二者必居其一 ) 、互异性 ( 若 a?A ，b?A ，则 a b) 和无序性 (a,b 与 b,a 表示同一个集合 ) 。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素 ; 只要是它的元素就必须符号条件2) 集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3) 集合的分类：有限集，无限集，空集。4
2、) 常用数集： N ，Z ，Q ，R ，N*2. 子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1) 子集：若对 x A 都有 x B ，则 AB( 或 AB);2) 真子集： AB 且存在 x0 B 但 x0A; 记为 AB( 或，且 )3) 交集： A B=x|x A 且 x B4) 并集： A B=x|x A 或 x B5) 补集： CUA=x|xA 但 x U注意： ?A ，若 A ? ，则 ?A;若，则 ;若且，则 A=B( 等集 )3. 弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号： (1) 与、 ? 的区别 ;(2) 与的区别 ;(3) 与的区别。 4
3、. 有关子集的几个等价关系A B=AAB; A B=BAB; ABCuACuB;A CuB= 空集 CuAB; CuA B=IAB 。5. 交、并集运算的性质A A=A ，A ?=? ，A B=B A; A A=A ，A ?=A ，A B=B A;Cu(A B)=CuA CuB ，Cu(A B)=CuA CuB;6. 有限子集的个数：设集合 A 的元素个数是 n ，则 A 有 2n 个子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集。二 . 例题讲解：【例 1 】已知集合 M=x|x=m+,m Z,N=x|x=,n Z,P=x|x=,p Z ，则 M,N,P 满足关系A)M=NPB)MN
4、=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合 M ：x|x=,m Z; 对于集合 N ：x|x=,n Z 对于集合 P ：x|x=,p Z ，由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余1 的数，而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数，所以 MN=P ，故选 B 。分析二：简单列举集合中的元素。解答二： M= ， ，N= ， , ， ，P= ，, ， ，这时不要急 于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。= N ， N ， MN ，又 =M ， MN ，=P ， NP 又 N ， PN ，故 P=N ，所以选 B 。点评：由于思路二只是停
5、留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问 题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合，则 (B)A.M=NB.MNC.NMD.解：当时， 2k+1 是奇数， k+2 是整数，选 B【例 2 】定义集合 A*B=x|x A 且 xB ，若 A=1,3,5,7,B=2,3,5 ， 则 A*B 的子集个数为A)1B)2C)3D)4分析：确定集合 A*B 子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利 用公式：集合 A=a1 ，a2 ， an 有子集 2n 个来求解。解答： A*B=x|x A 且 xB ， A*B=1,7 ，有两个元素，故 A*B 的 子集共有 22 个。选 D 。变式 1 ：已知非
6、空集合 M1,2,3,4,5 ，且若 a M ，则 6?a M ，那么 集合 M 的个数为A)5 个 B)6 个 C)7 个 D)8 个变式 2 ：已知 a,bAa,b,c,d,e, 求集合 A.解：由已知，集合中必须含有元素 a,b.集合 A 可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析本题集合 A 的个数实为集合 c,d,e 的真子集的个数， 所以共有个 .【例 3 】已知集合 A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0, B=?2,1,3, 求实数 p,q,r 的值。且 A B=1,A解答： A B=1 1 B 12?
7、4 1+r=0,r=3. B=x|x2?4x+r=0=1,3, A B=?2,1,3,?2B, ?2 A A B=1 1 A 方程 x2+px+q=0 的两根为 -2 和 1 ， 变式：已知集合 A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0, B=2,A B=B ，求实数 b,c,m 的值 .解： A B=2 1 B 22+m?2+6=0,m=-5 B=x|x2-5x+6=0=2,3 A B=B 又 A B=2 A=2 b=-(2+2)=4,c=2 2=4 b=-4,c=4,m=-5且 A 【例 4 】已知集合 A=x|(x-1)(x+1)(x+2)0, B=x|x-2 ，且 A B
8、=x|1集合 B 满足： A 分析：先化简集合 A ，然后由 A B 和 A B 分别确定数轴上哪些元素 属于 B ，哪些元素不属于 B 。解答： A=x|-21 。由 A B=x|1-2 可知 -1,1B ，而 (- ,-2) B= 。 综合以上各式有 B=x|-1 x 5变式 1 ：若 A=x|x3+2x2-8x0 ，B=x|x2+ax+b 0, 已知 A B=x|x-4 ，A B= , 求 a,b 。( 答案： a=-2 ，b=0)点评：在解有关不等式解集一类集合问题， 作出数轴来解之。应注意用数形结合的方法，变式 2 ：设 M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0 ，若 M N
9、=N ，求所有 满足条件的 a 的集合。解答： M=-1,3, M N=N, NM当时， ax-1=0 无解， a=0 综得：所求集合为 -1 ，0 ，【例 5 】已知集合，函数 y=log2(ax2-2x+2) 的定义域为 Q ，若 P Q ，求实数 a 的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+20 在有解，再利用参数分 离求解。解答： (1) 若，在内有有解令当时，所以 a-4, 所以 a 的取值范围是变式：若关于 x 的方程有实根 , 求实数 a 的取值范围。解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有 的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类
10、问题的关键。【同步练习题】一、选择题 ( 每题 4 分，共 40 分 )1 、下列四组对象，能构成集合的是 ()A 某班所有高个子的学生 B 的艺术家C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2 、集合 a ，b ，c 的真子集共有个 ()A7B8C9D103 、若 1 ，2A1 ，2 ，3 ，4 ，5 则满足条件的集合 A 的个数是 () A.6B.7C.8D.94 、若 U=1 ，2 ，3 ，4 ，M=1 ，2 ，N=2 ，3 ，则 CU(M N)=() A.1 ，2 ，3B.2C.1 ，3 ，4D.45 、方程组的解集是 ()A.x=0,y=1B.0,1C.(0,1)D.(x,y)|x=
11、0或 y=16 、以下六个关系式：， , ，是空集中，错误的个数是 () A4B3C2D17 、点的集合 M=(x,y)|xy 0 是指 ()A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8 、设集合 A= ，B= ，若 AB ，则的取值范围是 ()ABCD9 、满足条件 M= 的集合 M 的个数是 ()A1B2C3D410 、集合，且，则有 ()ABCD 不属于 P 、Q 、R 中的任意一个二、填空题 ( 每题 3 分，共 18 分 )11 、若，用列举法表示 B12 、集合 A=x|x2+x-6=0,B=x|ax+1=0,若
12、BA ，则 a=_13 、设全集 U= ，A= ，CA= ，则 = ，= 。14 、集合， _.15 、已知集合 A=x|, 若 A R= ，则实数 m 的取值范围是16 、50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这 两种实验都做对的有人 .三、解答题 ( 每题 10 分，共 40 分 )17 、已知集合A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0, ， A C= ，求 m 的值18 、已知二次函数 ()=,A=, 试求的解析式19 、已知集合， B= ，若，且求实数 a ，b 的值。20 、设，集合，且 A=B ，求实数 x ，y 的值若 B C
