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1、.运筹学其它方面的应用一、农作物布局问题某农场要在 A1, A2, ， A m,这 m块土地上种植B1, B2, ， Bn种农作物 ,已知 A i块土地的面积为ai亩 (i=1,2,m),Bj 种农作物计划播种 bj亩。 (j=1,2,n) ,Bj种农作物在 Ai 块土地上的单位产值为 Cij (元 / 亩 ),在现有土地面积和计划播种面积相等的情况下,应如何安排种植计划,才能使总产值最高?精品文本.解 :该问题所要确定的量是每块土地上种植每种农作物的面积数 ,这就是决策变量。设在Ai块土地上种植Bj种农作物 xij 亩(i=1,2,m;j=1,2,n).在该问题中 ,要受到如下的条件限制。在
2、一块土地上各种农作物的播种面积之和应等于该块土地的实际面积,即：x11+ x12 + x1n=a1x21+ x22+ x2n =a2xm1+ xm2+ xmn=am一种农作物在各块土地上的播种面积之和应等于该种农作物的计划播种面积，即：x11+ x21 + xm1=b 1x12+ x22+ xm2 =b 2x1n+ x2n+ xmn=b nmn目标函数为： max Z =cij xiji 1j 1精品文本.二、配套问题例1：机器加工配套问题。 某工厂用 A1, A2, ，Am这m种机床生产由 B1, B2, ， Bn种零件组成的机器 ,如果每台机器所用各种零件的数目分别为d1,d2,dn,机床
3、 Ai 每小时生产零件 Bj的件数为 cij,问应如何安排每天的生产才能使工厂日生产的机器最多（1日 24小时） ?解：1 该问题所要决定的量是每台机器生产各种零件的时间数,这就是决策变量。设 xij 表 示 机 床 A i 生 产 零 件 Bj 的 时 间 数 小 时 i=1,2, ,m,j=1,2, ,n .2该问题要受到如下条件的限制。i每台机床生产各种零件时间的总和应等于一天的实际工n作时数以 24小时计算 ,即xij 24i=1,2,mj 1ii 各种机床所生产的各种零件的总数应与一台机器所需的精品文本.各种零件数对应成比例,即生产的各种零件数恰好装配成整套mmmci 1 xi1ci
4、 2 xi 2cin xin机器 ,即：i 1i 1i 1d1d2dniii 每台机床安排生产每种零件的时间数不能为负数,即：xij O i=1,2,m； j=1,2,n3该问题的目的是生产的机器最多,由于生产的各种零件数目正好全部组装成套机器,所以 ,一种零件所能组装的机器数即为整套机器的数目,从而目标函数为mc i 1 x i 1Zi 1d 1因此 ,该问题的数学模型为mci 1 xi 1max Zi 1d1nxij24 i=1,2, ,mj1mmmci 1 xi 1ci 2 xi 2cin xini1i 1i 1d1d 2d nxij O i=1,2,m； j=1,2,n精品文本.例 2
5、：流水作业的人员安排问题。被服厂的某车间有工人50名 ,按照过去的经验每个工人每天能裁衣100件 ,或包缝 200件 ,或缝纫 30件 ,或锁眼、钉扣 80件 ,间应如何安排生产 ,才能使车间在连续生产过程中出成衣最多 ?解 :1该问题要确定的量是每天安排的每道工序的人数,使得每天四道工序所完成衣服数相同以保证出成衣最多,因此 ,设 x1 、x2 、 x3 、x4 分别表示每天安排的上述四道工序的人数。2该问题要受如下条件的限制：每天安排的工人总人数不超过实有工人数,即：x1 + x2 + x3 + x4 50每道工序所完成的衣服数相同,即 :100x1 =200x2 =30 x3 =80 x
6、4每道工序安排的工人数不能为负数,即 xj 0 j=1,2,3,43由于每造工序所完成的衣服数相同,所以每个工序 l完成的精品文本.成衣数都等于最后的成衣,所以 ,目标函数 : Z=100 x1因此 ,该问题的数学模型为:maxZ=100 x1x1 + x2 + x3 + x450100x1 =200x2 =30x3 =80x4xj 0 j=1,2,3,4精品文本.三、广告问题例 :某工厂准备在电视上作广告、电视台的收费标准为:时间 :星期一至星期日 18： 30到 22：30以外的时间每半分钟收费 180元；时间： 星期一至星期五 18：30到22：30热门时间每半分钟收费 300元；时间：
7、星期六至星期日 18： 30到 22： 30热门时间每半分钟收费 420元；该工厂计划用 7200元在电视台作一个月 30天每天半分钟的广告。 电视台规定 ,每周在时间和时间内播出的次数之和不能超过时间内播出次数的一半 ,而工厂希望时间内播出的次数不少于 4次,也就是平均一周要至少有一次。据估计 ,在时间内收视率为一百万人次 ,在时间和时间的收视率分别为时间内的 3倍和 5倍 ,问应如何安排播放次数 ,才能使收视率最高 ?精品文本.解：该问题所要确定的量是在三种时间内播出的次数,这就是决策变量 ,设 xj表示在时间i播出的次数(j=1,2,3)该问题要受到如下条件的限制i全月播放的总次数是30
8、次 ,即 : x1+ x2 + x3=30ii 在时间和时间内播出的次数不能超过时间I 内播出1次数的一半 ,即 :x2 + x3 2 x1在时间内播出的次数不少于4次 ,即: x3 4每种时间内播出的次数不能为负数,即 : xj 0 ,j=1,2,3广告费用不能超支,即 : 180x1 +300x2 +420 x3 72003该问题的目的是收视率最高,所以收视率是目标函数,即Z= x1 +3 x2 +5 x3因此 ,该问题的数学模型为:求max Z= x1 +3 x2 +5 x3x1+ x2 + x3=301x2 + x3 2 x1x34180x1 +300x2 +420 x3 7200xj
9、 0 ,j=1,2,3精品文本.四、军事应用计划用三种不同类型的武器对某些目标实施突击。武器A的突击时间为 3分钟 ,武器 B为5分钟 ,武器 C为4分钟。火器保证射击的可能性是：武器A使用 3分钟 ,武器 B使用 2分钟和武器C使用 4分钟时的总数不应超过15,武器 A使用 2分钟和武器B使用 3分钟时 ,射击总数不应超过8。此外 ,为了克服敌方的对抗,还必需做到：武器 A 在 3分钟内发射数应超过武器 B在 1分钟内的发射数 ,超过数不小于 5。需要计算能使突击中的射击总数为最大的三种类型武器的射击速度(一分钟内射击数 ),也就是需要分别求A ， B， C型武器的射击速度,设为 x1,x2
10、,x3,此时应使目标函数:max Z =3 x1+5 x2+4 x33x1 +2 x2 +4 x3 152x1 + 3 x2 83x1-x3 5xj 0, j=1,2,3精品文本.上面我们通过一些实际问题给出了建立线性规划问题时数学模型的方法,但是 ,读者在实际工作中建立线性规划问题的数学模型时还应注意以下四点。1.对 -个实际问题进行决策时 ,在该问题中起作用的因素、限制条件可能有许多个 .我们要想把所有起作用的因素都考虑进去是很困难的 ,有时甚至是不可能的。 这就需到决策者选取那些对该问题影响较大的因素进行考虑和决策,而对那些影响较小的因素忽略不计,使得决策既较为合理又较为简单。也就是说,具体选取决策因素是一个非常关键的问题 ,这就需要对问题选行认真的研究 ,以作出比较符合实际的选择。2.有些实际问题建立的数学模型是线性规划模型,但它要求决策变量取整数值 例如 ,人员调配就不应出现小组点以后的数字,这实际上已属于整数规划的范畴。 但是通过线性规划也能得到满意的结果 ,这就是对线性规划所得最优解采取四舍五入的方法取整。这在以后的例子中还将详细说明。3.对于流水作业的工作 ,应考虑连续工作 ,从中抽出一段时间来考虑。如上面的例 2,它的数学模型
