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1、北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题数学（理科）第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项1已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解：集合或，故选2在平面直角坐标系中，已知，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：，故选3已知数列的前项和，则（ ）ABCD【答案】D【解析】解：故选4为了得到函数的图像，只需把的图像上所有的点（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】C【解析】解：由，因此，为了得到的图像，只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度
2、故选5“”是“函数在内存在零点”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当函数在内存在零点时，有，即或，所以“” 是“函数在内存在零点”的充分而不必要体条件故选6已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：，当时，当时，综上所述，的解集为故选7已知直线，若存在实数，使直线与曲线交于两点、，且，则称曲线具有性质，给定下列三条曲线方程：；其中，具有性质的曲线的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】解：与直线至多一个交点，故不具性质，圆心为，半径为，直线过定点，故存在，使直线与曲线交于、两点，且，具有性质过点，直线过定点
3、，故存在，使得直线与曲线交于、两点，且，具有性质综上，具有性质的曲线的序号是故选8甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在、号房间，现已知：（）甲与乙不是邻居；（）乙的房号比丁小；（）丙住的房是双数；（）甲的房号比戊大根据上述条件，丁住的房号是（ ）A号B号C号D号【答案】B【解析】解：根据题意可知，、号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是故选第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_【答案】【解析】解：复数，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以故10设，则、从大到小的顺序为_【答案】【解析】解：，1
4、1在中，点为边的中点，若，且，则_【答案】【解析】解：是的中点，又，12双曲线的离心率为_；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则_【答案】；【解析】解：双曲线，焦点坐标为，双曲线的离心率，椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，13已知点在不等式组，表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为_【答案】【解析】解：点在不等式组，表示的平面区域内，解得，点到直线的距离，当时，点到直线的距离最大，14设，定义为不小于实数的最小整数（如，），若，则满足的实数的取值范围是_；若，则方程的根为_【答案】；【解析】，故，设，则，原方程等价于，即，从而，或，相应的为，故所有实根之和为三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出
5、必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数（）求的值（）求函数的最小正周期及单调递减区间【答案】见解析【解析】解：（）函数，（）由（）可得：，的最小正周期，令，则，函数的单调递减区间为，16在中，角、所对的边分别为、，设，（）若，求的值（）求的值【答案】见解析【解析】解：（），由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，解得（），即：，17已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点 （）当与垂直时，求证：过圆心（）当，求直线的方程（）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（）由已知，故，直线的方程为，将圆心代入方程成立
6、，故过圆心（）当直线与轴垂直时，易知符合题意，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，解得，此时，即，故直线的方程为或（）当与轴垂直时，易得，又，则，故，即，当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的的方程得：，则，即，又由得， 则，故，综上所述，的值为定值，且18已知函数，（）求函数的最小值（）是否存在一次函数，使得对于，总有，且成立？若存在，求出的表达式；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（）的定义域为，易知时，时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为（）由（）知，所以，故可证，代入，得恒成立，设，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，即对一切恒成立，综上，存在一次
7、函数，使得对于，总有，且，19已知椭圆过点，两点（）求椭圆的方程及离心率（）设为第三个象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值【答案】见解析【解析】解：（）椭圆，过点，两点，椭圆的标准方程为，离心率（）设点坐标为，则直线的方程为，点坐标为，直线的方程为，点坐标为，则，所以，又，代入得：故四边形的面积为定值20若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质（）若具有性质，且，求（）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由（）设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”【答案】见解析【解析】解：（）具有性质，已知，又，（）设公差为，公比为，而，但，故不具有性质（）充分性：已知是常数列，设，则，若存在、使得，则，故具有性质，必要性：若对任意，具有性质，则，设函数，由，图像可得，对任意的，二者的图像必有一个交点，一定能找到一个，使得，故，是常数列，综上“对任意，都具有性质” 的充要条件为“是常数数列”1第页
