《2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：选修4-5第2节不等式的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：选修4-5第2节不等式的证明（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节不等式的证明考纲通过一些简单问题了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合 法、分析法.抓基础自主学习I知识核理1 .根本不等式定理1：设a, bCR,那么a2+b22ab,当且仅当a=b时，等号成立.a+ b定理2：如果a, b为正数，那么 个牺，当且仅当a=b时，等号成立.定理3：如果a, b, c为正数，那么a+b+c3金，当且仅当a= b=c时, 3等号成立.定理4:(一般形式的算术一几何平均不等式)如果al, a2,，an为n个正数，那么al + a2+ annn/a1a2an,当且仅当a1 = a2=an时，等号成立.2 .不等式证明的方法(1)比拟法是证明不等式最根本的方法，可
2、分为求差比拟法和求商比拟法两 种.名称求差比拟法求商比拟法理论依据ab? a-b0ab? ab0, a1? ab ，bb1? ab1, x= a+1, y= b+1,那么x与y的大小关系是 ab()B. xyD . xA. xyyCb1 得 ab1, a b0,所以雪.1 0，即xy0,所以xy.3.(教材改编)ab0, M = 2a3b3, N = 2ab2a2b,那么M, N的大小关系为.MN 2a3-b3- (2ab2- a2b) = 2a(a2 b2) + b(a2 b2) = (a2 b2)(2a+ b) = (a -b)(a+b)(2a+b).因为 ab0,所以 a-b0, a+
3、b0,2a+b0,从而(ab)(a+b)(2a+b)0,故 2a3b32ab2a2b.一.1 1 ,4. a0, b0且ln(a+b)=0,那么&+ g的取小值是.4 由题意得，a+b=1, a0, b0,1,11 . 1b a 一十二=o+k (a+b)=2+-+r a b a ba b2 + 2-4r a .b b a,，1 , 一当且仅当a=b=1时等号成立.5. x0, y0,证明：(1+x+ y2)(1 + x2 + y户9xy.证明因为x0, y0,所以 1+x+ y233/Xy20,1 + x2 + y33X2y 0,8 分10分故(1 +x+ y2)(1 + x2+ y)33/
4、xy2 33/春=9xy.I考问丁明考向题型突破|比拟法证明不等式a b 一 a0, b0,求证：-jb+丁Va+Vb.证明法一： 京生-（独+而a b g衽 +也 ya血2一漏=标 010分范衽.b+a a.：a+b.b法一：由于飞口bg+ Vb ayOb+ b Vab Va + Vb方方回出.又 a0, b0,洞)0,10分规律方法1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利 用不等式的性质，把证明ab转化为证明b 1(b0).2 .作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进展合理的变形，特别注意作商 证明不等式，不等式的两边应同号.提醒：在使用作商比拟法时，要注意说明分母的符
5、号.变式训练1 (2021莆田模拟)设a, b是非负实数,【导学号：57962490】求证：a例 设a, b, c均为正数，且a+b+c= 1,证明：(1)ab+bc+ ac 1.b c a证明(1)由 a2+b212ab, b2+c22bc, c2 + a22ca,得 a2+b2+c2ab+ bc+ca,+b2-/ab(a+b).证明因为 a2+b2-/ab(a+b)=(a2 aVOb)+ (b2 b/ab)=a/acTa-也)+ bVb(Vb- )二 (.；a ：b)(a；a b；b)1133a2-b2 a2-b2.1133因为a0, b0,所以不管ab0,还是0&a&b,都有存一万与a2
6、_b21133同号，所以(a2_b2) a2_b2 2所以 a2+ b2 Vab(a+ b).10分声典综合法证明不等式由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab + 2bc+ 2ca= 1,所以 3(ab+ bc+ ca) 1,即 ab+ bc+ ca2a, b2+c2b, C2+ a2c, bca2 b22故官 + +，+ (a+ b+ c) 2(a+ b+c),10分那么02+/+ 乜 a+b+c,所以 02+ b2+c21.b c a b c a规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A? Bi ? B2?？ Bn? B(A为条件或数学定义、定理、公
7、理，B为要证结论)，它的常见 书面表达式是“一，.或”？ .2.综合法证明不等式，要着力分析与求证之间，不等式的左右两端之间的 差异与联系.合理进展转换，恰中选择不等式，这是证明的关键.变式训练2 (2021石家庄调研)函数f(x) = 2|x+ 1|+X 2|.(1)求f(x)的最小值m；b2 c2 a2(2)假设a, b, c均为正实数，且满足a+b+c=m,求证： + +3.【导学号：57962491】解(1)当 x3;2 分当一10x2 时，f(x) = 2(x+1)+(x 2) = 3x6.综上，f(x)的最小值m=3.5分(2)证明：a, b, c均为正实数，且满足 a+b+c=3
8、,222因为g+ b +器+ (a+b+c)= 2(a+ b+ c).(当且仅当a=b = c= 1时取”=)b2 c2 a2b2 c2 a2所以+b + 1)a+b+c，即+%+43.8分10分I考向3 |分析法证明不等式卜例 (2021 全国卷 H)设a, b, c, d均为正数，且 a+b = c+d, 三明：(1)假设abcd,那么4+如加+ 弧(2)油+加,+ &是|a b|#+,只需证明(g+也)2(加+ a)2,也就是证明a+b+2，abc+d+2的5,只需证明qcd,即证abcd.由于abcd,因此 qa+ybqc+yd.5 分(2)假设 |a- b|c-d|,那么(a- b)
9、2(c d)2,即(a+ b)2 4abcd.由(1),得他+加&+ Vd.8分假设g+衽, + ,那么(6+加)2(加+加)2,即 a+ b+2 abc+d + 2 cd.因为 a+b=c+d,所以 abcd.于是(a b)2 = (a + b)2 4ab(c+ d)2 4cd = (c d)2.因止匕 |ab|也+加是|ab|bc,且 a+b+c= 0,求证：，b2 acJ3a.【导学号:57962492证明要证，b2ac木a,只需证b2-ac3a2. a+b+c= 0,只需证 b2+a(a+ b)0,4分只需证(ab)(2a+b)0,只需证(ab)(a c) 0. abc,ab0, a c0, (a- b)(a-c)0 显然成立，故原不等式成立.10分 名甄微博今思想与方法 .比拟法：求差比拟法主要判断差值与 0的大小，求商比拟法关键在于判 定商值与1的大小(一般要求分母大于0).2.分析法：B?Bi?B2?？Bn?A(结论).(步步寻求不等式成立的充分条件)().3.综合法：A? Bi? B2?？ Bn? B().(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).易错与防范1.使用平均值不等式时易无视等号成立的条件.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的标准性，常常用要证(欲证)即要证就要证等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证 明的数学问题成立.
