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1、 数列的综合应用高考试题考点一 等差数列与等比数列的综合应用1.(20xx年江苏卷,13)设1=a1a2a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是.解析:设a2=m,则1mqm+1q2m+2q3,m1,qmaxm, .答案:2.(重庆卷,文16)设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+.(1)求an的通项公式及前n项和Sn;(2)已知bn是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.解:(1)由题设知an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,Sn=(3n-1).(2)b1=a
2、2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以数列bn的公差d=5,故T20=203+5=1010.3.(福建卷,文17)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9,来源:所以5a1+10+8a1,即+3a1-100,解得-5a10.证明:d1,d2,dn-1是等比数列;(3)设d1,d2,dn-1是公差
3、大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an-1是等差数列.(1)解:d1=2,d2=3,d3=6.(2)证明:因为a10,公比q1,所以a1,a2,an是递增数列.因此,对i=1,2,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1.于是对i=1,2,n-1,di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1.因此di0且=q(i=1,2,n-2),即d1,d2,dn-1是等比数列.(3)证明:设d为d1,d2,dn-1的公差.对1in-2,因为BiBi+1,d0,所以Ai+1=Bi+1+di+1Bi+di+dBi+di=Ai.又因为Ai+1=maxAi,ai+1,所以ai+1=Ai+1Aia
4、i.从而a1,a2,an-1是递增数列.因此Ai=ai(i=1,2,n-1).又因为B1=A1-d1=a1-d1a1,所以B1a1a2an-1.因此an=B1.所以B1=B2=Bn-1=an.所以ai=Ai=Bi+di=an+di.因此对i=1,2,n-2都有ai+1-ai=di+1-di=d,即a1,a2,an-1是等差数列.5.(浙江卷,文19)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)由题意得a15a3=(2a2+2)2,由a1=10,an为公差为d的等差数列得,d
5、2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.所以an=-n+11(nN*)或an=4n+6(nN*).(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0时,Tn;当a.考点二 数列与函数的综合应用1.(20xx年湖北卷,文7)定义在(-,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f(x)=x2;f(x)=2x;f(x)=;f(x)=ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()(A)(B)(C)(D)解析:设数列an的公比为q,对于,=q2,是常数,故符合条件;对于,
6、 =,不是常数,故不符合条件;对于,= =,是常数,故符合条件;对于, =,不是常数,故不符合条件,由“保等比数列函数”的定义知应选C.答案:C2.(20xx年上海卷,文14)已知f(x)= ,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an).若a20xx=a20xx,则a20+a11的值是.解析:由an+2=f(an)=,(*)及a1=1,所以有a3=,a5=,a7=,a9=,a11=;又a20xx=a20xx,得+a20xx-1=0,令a20xx=t,则t2+t-1=0.由题设t0,所以t=,变形(*)为an=-1,则a2008=-1=t,故a2n=t=,所以a20+a11=+=.答案:3.(湖北卷,文21)设a0,b0,已知函数f(x)=.(1)当ab时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.判断f(1),f,f是否成等比数列,并证明ff;a、b的几何平均数记为G,称为a、b的调和平均数,记为H,若Hf(x)G,求x的取值范围.解:(1)f(x)
