角动量定理及角动量守恒定律

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1、角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩:如图所示，定义力F对O点的力矩为： M = r x F大小为：M=Fr sin 9力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋 法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲 的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时, 拇指指向的方向就是力矩的方向。二、力对转轴的力矩：力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。1）力与轴平行，则M = 0 ；2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积,称为力F对 转轴的力矩，用M表示。力矩的大小为： M=Fd或：M=Fr sin

2、 9其中9是F与r的夹角。3）若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力F，一个在垂直与转轴平面内的分力F，只有分- 1 2力F才对刚体的转动状态有影响。2 -对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方 向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力F丄F合外力矩M=rxF=M=Z Mr x 工 F =工 r x Fii四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中 所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用

3、角 动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念,在转动问题中，它所起的作用和（线） 动量所起的作用相类似。在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定 律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。 至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作 用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚 体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守 恒定律。下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动

4、量和角 动量守恒定律。1质点的角动量（Angular Momentum）描述转动特征的物理量1）概念 一质量为m的质点，以速度V运动，相对于坐标原点O的位置矢量为r，定义质点对坐标原点o的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即L = r x P = r x mv角动量是矢量，大小为L二rmvsin a式中a为质点动量与质点位置矢量的夹角。角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。角动量的单位：kg.m2.s-12)说明:(1)大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从18世 纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界 最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在

5、近代物理中的运用更为广泛。例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。 原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这 叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。2)角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。因此在说明一个质点的角动量时, 必须指明是相对于哪一个参考点而言的。(3) 角动量的定义式l = r x P = r x mv与力矩的定义式M = r x F形 式相同，故角动量有时也称为动量矩动量对转轴的矩。(4) 若质点作

6、圆周运动，v丄r，且在同一平面内，则角动量的大小为 L二mrv二mr 3，写成矢量形式为L = mr(5) 质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点的角动量L保持不变。L=rmsin a=mvd2. 质点的角动量定理(Theorem of Angular Momentum)(1)质点的转动定律o问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。 设质点的质量为m，在合(力F的作用下，运动方程为dv dvmF = ma = m =dtdt用位置矢量r叉乘上式(得dvmv 丿r x F = r xdt考虑到d (-) - d ( -) drr x mv 丿=r x mv 丿 + x mv

7、dtdtdtdr _ _x v = v x v = 0 dtr x F =(r x mv )dt由力矩M=r x F和角动量的定义式L =(r x mv)dtdL得M=dt表述：作用于质点的合力对参考点0的力矩，等于质点对该点0的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律(或角动量定理的微分形式)。这与牛顿第二定律F = P/1在形式上是相似的，其中M对应着F, L对应着P。(2)冲量矩和质点的角动量定理把上式改写为 Mt = LMdt 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得Mt = L - L21ti式中L和L分别为质点在时刻t和t的角动量，fMt为质点在时间间隔t-1内所

8、受的冲量1 2 1 2 2 1t1矩。 1 质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。 成立条件：惯性系3. 质点的角动量守恒定律(Law of Conservation of Angular Momentum)若质点所受的合外力矩为零，即M=0，则L=r x mv =恒矢量这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的 角动量为一恒矢量。说明：(1)质点的角动量守恒定律的条件是 M =0，这可能有两种情况：合力为零；合力不为零，但合外力矩为零。例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力 是指向圆心的所

9、谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量 是守恒的。不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以， 在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两 焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点 0，则行星 的角动量是守恒的。特例：(1)在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的；(2)匀速直线运动。(2)角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量 守恒定律都起着重要作用。典型例题1、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M,可绕通过棒的端点且垂

10、直于棒长的光滑固定轴 O在水平面内转动，转动惯量为ML2/3. 质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v/2,则此时棒的角速度应为1 vmv3mv5mv7 mv(A) ML .(B) 2ML .(C) 3ML .(D) 4ML .1 12O俯视图mvL =丄 ML2+ m_v L w3mvv解：角动量守恒32,2ML ,选(D)2.在一光滑水平上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示。弹簧自然 长度lo=0.2m,倔强系数k=100Nm-i。设t=0时，弹簧长度为，滑块速度vn=5m s-i,方向与弹簧垂直。00

11、在某一时刻，弹簧位于与初始位置垂直的位置，长度l=0.5n。求该时刻滑块速度v的大小和方向。解:mv - mv0 sin 00 0十 mv2 - i mv2 + 十 k（ - ）22 0 2 2 0解 得v = v2 一 卞（ 一 ）2 = 4 m/ s, 0 = 3Oo 0 m03.假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的(A)角动量守恒，动能也守恒. (B)角动量守恒，动能不守恒.(C)角动量不守恒，动能守恒.(D)角动量不守恒，动量也不守恒.提示：卫星所受唯一外力为万有引力，是“有心力”故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。4若作用于一力学系统上外力的合力为零，

12、则外力的合力 (填一定或不一定)为零;这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是提示：反例如：合力为0,但合力矩不为0,此时动量一定守恒。5.根长为l的细绳的一端固定于光滑水平面上的O点，另一端系一质量为m的小球，开始时绳子 是松弛的，小球与O点的距离为h使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动，该直线垂直于小 球初始位置与O点的连线.当小球与O点的距离达到l时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O点为圆心的 圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能ek与初动能eK0的比值ek / eK0=.v hv 2 _ h 2提示：小球运动过程角动量守恒：mv0h = mvh = v0 了

13、 = v2 126.如图所示，在中间有一小孔O的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg的小块物 体.绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住.开始时物体以半径R0 = 0.5 m在桌面上转动，其线速度是4 m/s.现 将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径.而绳最多只能承受600 N的拉力.求绳刚被拉断时，物体的转动半径R等于多少?提示：N、G合力矩为0, T为有心力，故物体角动量守恒: mv R = mvR0 0 又有拉力提供向心力：mv 2-R 联立可解7.在光滑的水平面上，有一根原长10 = 0.6 m、劲度系数k = 8 N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质量0vm = 0.2 kg的小球B另一端固定在水平面上的A点.最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度0如图所示.在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的距离最大，且弹性绳长1 = 0.8 m,求此时的速率v及初速率v0.提示：小球受G、N、T,前两项力矩之和为0,后者为有心力。故小球角动量守恒：mv d sin 30。= mvl0又滑动过程中只有T作功,故小球与弹性绳机械能守恒:1mv 2 =2 0mv 2 + K （1 一 1 ）22 2 0B联立可解。