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1、博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年 级：高 一 日期：辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间：课 题第九讲：幂函数授课日期 教学目标1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，培养学生的抽象概括能力；2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题,培养学生的灵活思维能力.教学内容幂函数教学重点与难点教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质 。教学难点：从五个具体的幂函数的图象中概括幂函数的性质，体会幂函数的图像的变化规律。教学过程来源:Zxxk.Com一、创设情境，引入课题下列问题中的函数各有什么共同特征？（1）如果张红购买了
2、每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付pw元这里p是w的函数（2）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为Va3这里V是a的函数（3）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a这里a是S的函数（4）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为vt-1（kms）这里v是t的函数 总结，即可得出：pw，sa3，a，vt-1都是自变量的若干次幂的形式 我们把这样自变量都是若干次幂的形式的函数称为幂函数二、建立模型幂函数的概念一般地，形如： 的函数称为幂函数，其中为常数 注意：由于无理指数幂的意义我们还没学到，因此目前只讨论a是有理数的情况 思考讨论：在幂函数yxn中，当n
3、0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？此时yx01；定义域为（，0）（0，），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外1、 判断下列函数是否是幂函数：（1） （2） （3）（4） （5） （6）答案：（1）是（2）是（3）不是（4）不是（5）不是（6）不是2、 幂函数求m=_答案：-1三、解释应用【例1】1. 求下列函数的定义域(1) (2) (3) (4) (5)解：（1）R（2）R（3）xx0（4）xxR且x0）（5）xx02. 求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)解：（1）xx
4、R且x0），偶函数（2）R，非奇非偶函数（3）R，奇函数（4）xx0，非奇非偶函数问题探究1. 对于幂函数yxa，讨论当a1，2，3，1时的函数性质 定义域值域奇偶性单调性定点以上问题可以从函数解析式出发来研究函数性质在同一坐标系中，画出yx，y，y，y，的图像，并归纳出它们具有的共同性质幂函数的性质： （1）所有的幂函数在（0，）上都有定义，并且图像都过点（1，1） （2）如果a0，则幂函数的图像通过原点，并在区间0，）上是增函数 （3）如果a0，则幂函数在（0，）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当趋向于时，图像在x轴上方无限地趋近轴 (4)
5、当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数。思考讨论：（1）在幂函数中，当是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数中，当是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？（1）在幂函数中，当是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数（2）在幂函数中，当是正奇数时，函数是奇函数，在第一象限内是增函数【例2】1.讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路：函数y是幂函数（1）要使y有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R（2）xR，x20y0（3）f（x）f（x），函数y是偶函数；（4）n0，幂函数y在0，上单调递增由于幂函数y是偶函数，幂函数y在（，
6、0）上单调递减（5）其图象如下图所示2.比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.51.7，（2）考查幂函数y的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小【例3】求函数y2x4（x32）值域解析：设tx，x32，t2，则yt22t4（t1）
7、23当t1时，ymin3函数y2x4（x32）的值域为3，）练习比较大小 （1）若，比较的大小； （2）若，比较的大小解：（1）当时，幂函数在上单调减， （2）当时，指数函数在上单调减， ， 四、 本课小结本节课主要学习了一下内容：1. 幂函数定义的理解及它的函数图像和性质；2. 运用幂函数的定义和性质解决一些常见的数学问题。五、 课后练习1函数y（x22x）的定义域是（）Ax|x0或x2B（，0）（2，）C（，0）2，D（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域答案：B2函数y（1x2）的值域是（）A0，B（0，1）C（0，1） D0，1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t1
8、x2，则y1x1，0t1，0y1答案：D3函数y的单调递减区间为（）A（，1）B（，0）C0，D（，）解析：函数y是偶函数，且在0，）上单调递增，由对称性可知选B答案：B4若aa，则a的取值范围是（）Aa1Ba0C1a0 D1a0解析：运用指数函数的性质，选C答案：C5函数y的定义域是（）A5x3 B5x3Cx5或x3 DR解析：由（152xx2）30152xx203x5答案：A6函数y在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_解析：m的取值应该使函数为偶函数故m1答案：m17若,则a的取值范围是_.(,)解析:考察函数在定义域(0,+)上递减,8.已知函数f(x)x(01),对于下列命题：
9、若x1,则f(x)1； 若0x1,则0f(x)1; 若f(x1)f(x2),则x1x2； 若0x1x2,则.其中正确的命题序号是 _ _.解析:作出yx(01)在第一象限的图象，由性质易判定正确；而表示图象上点P(x,y)与原点连线的斜率,当0x1x2时应有,不正确. 答案:9 已知函数,将其图象向左平移a(a0)个单位,再向下平移b(b0)个单位后图象过坐标原点,则ab的值为 .解析:图象平移后的函数解析式为, 由题意知, ab1.10已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y，（1）由152xx20得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y的单调增区间为5，1，单调减区间为（1，3答案：（1）定义域为5，3，值域为0，2；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3）（1，3
