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1、班级 o 学号 姓名 密 o 东北大学研究生院考试试卷2008 2009 学年第 1 学期课程名称：数值分析总分一(1-8)一(9-10)二三四五o 线一、解答下列各题：(每题5分，共50分)1.111的近似值x具有5位有效数字，求x的绝对误差限。由于.帀=10.5. =0.105.102，所以10(1 2、2设 A=，求 P(A)和 Cond(A)1。I3 4丿r(A) =533，Cond(Ah =21。5.已知满足条件 f(0)= 0, f(1) = 1, f(2) = 7 f(3)= 2, f (0)= 0, f (3)= 1 的三次样1条插值函数S(x)在区间1,2的表达式为S(x)=
2、 ；(31x3-130x2 159x- 53),试 求S(x)在区间0,1的表达式。由已知可得 S(0) = 0S(0) = 0,S(1) = 1 , S (1 - 8，所以在0,1上有：1 2S(x)八 了 x2(22x_ 29)6.求区间0，1上权函数为(X)二1的二次正交多项式F2(x)。P0(x) = 1，R(x) = X_P0 = x_(P0,P0)29 x3. x为何值时，矩阵A= x 8G为下三角矩阵。由A正定可得，0 ： x ： 8， x=6时有:9 6 3 勺13 2 rA =6 842 22 11，2九 2人 扎所以，Gauss-Seidel迭代法不收敛。三、(12分)已知
3、方程x = I nx 2，1. 证明此方程在区间(1,七)内有唯一根：；2. 建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值e,2e都收敛，说明收敛理由和收敛阶。3. 若取初值X。二e，用此迭代法求精度为；二10,的近似根，需要迭代多少步？11.记 f (x) = x - In x - 2，贝U f (x) = 1 - ： 0, (x 1)x又由于 f (e) =e_3 ： 0, f (2e) = 2e- In 2_ 30所以，方程在区间(1,七)内有唯一根，而且卅三(e,2e)。2 建立迭代格式：xk ./I n xk 2, k = 0,1,2,.，迭代函数为:(x) = I n x 21 1由于对任
4、何 xe,2e有：e ： 3乞(x)乞 In 2 3 ： 2e，而且 | ：(x) |：1x e所以，对任意初值x0 e,2e都收敛。1又由于r )= .0，所以收敛阶等于1。Ct13.由于X1=3, L=，所以e(1 一 L)呂k_lnIn L 10.704X1 - X0即,需要迭代11步。#1四、(16分)1.确定参数Ao,A,A2,Xi,使求积公式x2f(x)dx：Aof(-1)Af (xjA2f(1)具有1.由于f n :fnh2 - fnfn2 - fn 23、k2 = fn h(- fn) (-2_ 2fn -2 fn V O(h )excy2exdxcydyo 密 o 封 o 线
5、尽可能咼的代数精度，并冋代数精度是多少？12 .利用复化Simpson公式Sn计算计算定积分Iexdx，若使11 - Sn卜：；=10-4,问应取n为多少？并求此近似值。, 2 2 21 由 AoA1 A2，- AoA1X1 A2= 0,AoA1X1 A2,35-A + Ax； + A2 = 0,可得：A。= A?=丄,A1 =Xj = 0 ,具有 3 次代数精度。5151 +丸yn+1 = yn +hfn3.3- 2h(:62.n 42880 10*1.75，所以取n = 2I ： S21 (e e 2e0.5 - 4e0.25 - 4e0.75 1.718318812五、(12分)已知求解
6、常微分方程初值问题：= f(x,y),a,b(a)的差分公式：khyn 十 yn +(k1 k1 = f(Xn, yn)k2 = f (Xn +ah,yn +PhkJJo =a1. 确定参数，使差分公式的阶尽可能高，并指出差分公式的阶。y=_5y 0Ex22. 用此差分公式求解初值问题 丿 八时，取步长h=0.1,所得数值,(0)=0解是否稳定，为什么?；:f2,丸h /云花亠甘Cfn(芒-3；:x. . 2 2二 Tnf2 2 ；x：xyfn O(h4)y(Xn 1)= y(Xn) y (Xn)hh； y (xn) 62 6h2 cfn cfn Tn + hf= +3 2 2 h3 : fn : 営一2n 2:Xh3-2d + a ana 2:xy:yy (Xn) O(h4)2 :fn :fn : fn 24n2 一* (2fhO(h4)ex cycy于是，当 =2， = 3J = 3时，差分公式的阶最高，是2阶方法。442.带入试验方程有：h3hyn 1 二 yn * -5yn -10(yj(-5yn)34= (1-5h 25 h2)yn2h=0.1时，由于yn d = 0.625yn，所以，所得数值解是稳定的。#
