《圆锥曲线几何性质总汇》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线几何性质总汇（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线的几何性质椭圆的几何性质2+詁=1 (a b 0)为例)1、 ABF 2的周长为4a（定值）证明：由椭圆的定义AF1BF1AF2 2aBF2 2a即 C I ) min =2a- I AF, IAPPF,xx8、A为椭圆一定点，P是椭圆上的动点，贝UPF2(I PA I +) min = A 到右准线的距离e证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PFPFe d dePA d min = A到右准线的距离PF2(I PA I +) min =e9、焦点/ PF,F2的旁心在直线x= a 上。证明：令 I与/ PF,F2三边所在的直线相切于 M、N、APM PNF2N F2APF,
2、PNF, MF,F2 F2NF,AFM I |F,APF, PN F,F2 F2NF2N F2APF, PN F2N F,F2 F2N F2Af2nf2a二 2a 2c 2 F2A二 a c F2A 即为椭圆顶点。焦点PF1F2的旁心在直线x= a上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于 E, K是准线上另一任意点，连结 PK交椭圆于 Q贝U KF2平分/ EFQPF2eQF2PF2 d1d1PF2QF2e d2d1d2QF2 d2虫PKd2QK证明：令P,Q到准线的距离为di,d2由三角形外角平分线性质定理有KF2平分/ExK11、AFBF证明：令A 款定值）,B X2,y2当A
3、B的斜率存在时，设直线y k2x2ax c2_y_b2a2(k2x2 2k2cxAB方程为y kc k) a(b22 22a k )x222a k cx222a k ca2b2AFa ex11112a eX1X2BFa ex2AFBFa ex1a ex22a ae2X2eXiX2为X2ba2k2b22. 2 a k2 2 2 a k c22 ja b2a2k2c_2a2k2c2a e -22 2b2 a2k22 22Z2a2 ae 2a k c a k c a b a aeak e 2 ak 22a2k2ca ae22 2b2 a2k2“ c2a2k2c2a T22a b a k2. 2 2c
4、、2 a k c(a)2 2a b2 2 2b a ka4k2 a2b23222a k 2abT2, 22a k 2 22ak c 2 c4, 2 c2 2 22ak a c2422k b a b2ab2b2c22ak22a2 2a c2a k2 1b2 k2 12a当AB的斜率存在时，AFBFab2ab72aAFBF12、AB是椭圆的任意一弦,AB中占I 八、，则 Kab ?Kpbja2（定值）证明：令A,BX2，y2，xy12八。22X1y112 ab222X2y212 ab2y1y2b2X1X22 ay1y2kABX1X2，kopy1 y2X1x2 .2 aX1X2X|X2则2y2厂yo
5、X2y2 . y1y2-0kAB kOPyXo13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P 分别2=aBi0,b ,B2o,b , NXiO ,P ：uuuvuuuuvB2PXo, yob,B2MX2, buuuvuuuvBiPXo, yob,BiNXi,b实用标准交长轴于N、M两点，则有IOMI * I ONI证明:x),yo,Mx20由于B2、p、M共线XoyobbXovX2bX2.yob由于LOTPFicXo,yo,XoyobbXobbXiyoujurPF2cXo,xyo 、OMON2以Xo b2.2Xo bAB212yob2 .2yob222.22XoyoiX
6、obyo2a2 ab22 ab2OMON2 a22b Xo22b yo证明：令M2a,yic2,N -c,y2 ,P Xo,yo , A a,OA2 a,OumruumrAPXoa,yoAPXo a,yo ,二 uuHLT2 aujut2 aAM-a, yi,ANa, y2cc14、椭圆的长轴端点为 Ai、A 2, P是椭圆上任一点, 连结AiP、A2P并延长，交一准线于 N、M两点， 则M N与对应准线的焦点角为 9oo由于Aj、P、M共线Xo2 acyiyi2za、yo (a)cXo a由于A2,P,N共线XoyoY2y22za .yo (a)cXoay22 2aayo ( a) yo (
7、 a)c cXo aXo a2yo22Xoa42 2a a c2c2Xo2yob22yo-22Xoab2auuur FM2 acc,y1uur2 aFNcc,y2,242 2b a a cyiy222a cuuur ujur FM FNyiy2Xujur juur FM FN oM N与对应准线的焦点角为9o15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦 该准线对应的焦点。2证明：设M ,yoc2aX则ab的方程为& y学ia2b2即Xi必过点c,oc b16、椭圆的光学性质:证明：设P Xo, yo过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。:XoX: 2a，则过P点的切线lyoyb21，直线l的法线x交轴于Q直线l的法向量为:xo yoa buuir PF1Xo,youuuu,PF2c Xo,yo二 PF22Xoyo2 2cxoplFo
