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1、第十五章数系的扩充与复数的引入考纲展示命题探究1复数的定义形如abi(a，bR)的数叫复数，其中实部是a，虚部是b.2复数的分类满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b03复数相等的充要条件abicdiac且bd(a，b，c，dR)4复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表示纯虚数5复数的几何意义6复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，则|z|abi|r(r0，rR)，即复数abi的模表示点Z(a，b)与原点O的距离特别地，b0时，zabi是实数
2、a，则|z|a|.注意点复数概念的理解的注意事项(1)两个不全是实数的复数不能比较大小(2)复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.(3)复数与向量的关系：复数是数的集合，而向量是有大小和方向的量，二者是不同的概念为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用，所以用向量来表示复数.1思维辨析(1)复数zabi(a，b，R)中，虚部为bi.()(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小()(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数()(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模()答案(1)(2)(3)(4)2实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A第一象
3、限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析实部为2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第二象限3在复平面内，已知65i对应的向量为，(4,5)则对应的复数为_答案1010i解析由得：又(4,5)对应的复数为45i.对应的复数为：45i65i1010i.考法综述复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查难度一般不大命题法1复数的概念与分类典例1设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()A2 B2C D.解析解法一：设bi(bR且b0)，则1aibi(2i)b2bi，所以b1，a2b2.解法二：i，令0且0，得a2.答案A【解题
4、法】与复数概念及分类有关的题型的解题步骤第一步，先把题目中的复数z的代数形式设出，即设复数zabi(a，bR)第二步，把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式，即化为abi(a，bR)的形式第三步，紧扣复数的分类：复数zabi(a，bR)根据分类列出相应的方程，如：若题目要求该复数是实数，则根据虚部b0列出相关方程(组)第四步，解方程(组)，求得结果命题法2复数相等典例2若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35i B35iC35i D35i解析解法一：令zabi(a，bR)，则(abi)(2i)(2ab)(2ba)i117i，解得a3，b5，故选A
5、.解法二：z35i.答案A【解题法】复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件，即abicdi(a，b，c，dR)解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部，使之分别相等，得到方程组，从而解决问题命题法3复数的模及几何意义典例3(1)若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2,4) B(2，4)C(4，2) D(4,2)(2)a为正实数，i为虚数单位，2，则a()A2 B.C. D1解析(1)由iz24i，得z42i，所以z对应的点的坐标是(4，2)(2)2，a，又a0，a.故选B.答案(1)C(2)B【解题法】与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数zabi(a，
6、bR)与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质1若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23i B23iC32i D32i答案A解析因为zi(32i)23i，所以23i.2.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析1i，其在复平面内所对应的点位于第二象限3设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5 B5C4i D4i答案A解析由题意知：z22i.又z12i，所以z1z2(2i)(2i)i
7、245.故选A.4设z，则z的共轭复数为()A13i B13iC13i D13i答案D解析z13i，13i，选D.5已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54i B54iC34i D34i答案D解析由ai与2bi互为共轭复数，可得a2，b1.所以(abi)2(2i)244i134i.6.i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_答案2解析由题意知，复数(12i)(ai)a2(12a)i是纯虚数，则实部a20，虚部12a0，解得a2.7设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_答案解析设复数zabi，a，bR，则z2a2b22
8、abi34i，a，bR，则，a，bR，解得或，则z(2i)，故|z|.8已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_答案21解析由题意，得z(52i)22520i42120i，其实部为21.1复数的加法(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两复数，那么z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)运算律：交换律、结合律(3)几何意义：复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数，其中，分别为z1，z2所对应的向量2复数的减法(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(
9、2)几何意义：复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数3复数的乘法(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)运算律：交换律、结合律、分配律4共轭复数(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数用表示z的共轭复数，若zabi，则abi.特别地，实数的共轭复数还是它本身(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上(3)性质：z(abi)(abi)a2b2|z|2(a，bR)5复
10、数的除法运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则i(cdi0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算注意点虚数单位i的周期性计算得i01，i1i，i21，i3i，继续计算可知i具有周期性，且最小正周期为4，故有如下性质(nN)：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i；(2)i4ni4n1i4n2i4n30.1思维辨析(1)若aC，则a20.()(2)方程x2x10没有解()(3)原点是实轴与虚轴的交点()(4)zzR.()(5)若z0且z0，则z为纯虚数()答案(1)(2)(3)(4)(5)2复数z满足(z2)(1i3)2(i为虚数单位)，则
11、z()A1i B1iC1i D1i答案D解析由题意得：(z2)(1i3)2，(z2)(1i)2，z21i21i，故选D.3已知实数m是方程x2(2i)xn2i0，nR的一个根，则mn_.答案2解析由题意知：m2(2i)mn2i0，即m22mn(m2)i0，由复数相等的条件得，解得：，即mn2.考法综述复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)，尤其除法运算及i的运算规律为命题热点命题法复数的四则运算典例(1)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2，p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i，p4：z的虚部为1，其中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2Cp2，p4
12、 Dp3，p4(2)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.解析(1)z1i，故|z|，p1错误；z2(1i)2(1i)22i，p2正确；z的共轭复数为1i，p3错误；p4正确(2)zi，z.故填.答案(1)C(2)【解题法】复数四则运算中常用技巧(1)巧用“分母实数化”，求解复数除法运算复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简其原理是(abi)(abi)a2b2(a、bR)(2)巧用“结论”，求解复数的乘方运算记忆结论(1i)22i，i，i，在化简复数的过程中构造出结论的形式，便可直接代入进行计算1设复数z满足i，则|z|()A1 B.C. D2答案A解析由题意知1zizi，所以zi，所以|z|1.2若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1 B0C1 D2答案B解析由于(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，所以，解得a0.故选B.3.若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1i B1iC
