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1、3.8 控制系统的稳定性3.8 控制系统的稳定性 稳定性是控制系统最重要的特性之一。 它表示了控制系统承受各种 扰动，保持其 预定工作状态的能力。不稳定的系统是无用的系统，只有稳定的系统才有可 能获 得实际应用。我们前几节讨论的控制系统动态特性， 稳态特性分析计算方法，都 是 以系统稳定为前提的。3.8.1 稳定性的定义图 3.26( a )是一个单摆的例子。在静止状态下，小球处于 A 位置。若用外力使 小球偏离 A 而到达 A ，就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动，我们 会发现，小球从初 始偏差位置A，经过若干次摆动后，最终回到A点，恢复到 静止状态。图3.26 (b)是 处于山顶的
2、一个足球。足球在静止状态下处于 B 位置。 如果我们用外力使足球偏离 B 位 置，根据常识我们都知道，足球不可能再自动回 到 B 位置。对于单摆，我们说 A 位置是 小球的稳定位置，而对于足球来说，B 则是不稳定的位置。(a)稳定位置；(b)不稳定位置处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态，产生初始偏差。 稳定性是指扰动消失后，控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。若能恢 复到原平 衡状态，我们说系统是稳定的。若偏离平衡状态的偏差越来越大，系统 就是不稳定的。 在控制理论中，普遍采用了李雅普诺夫(Liapunov)提出的稳定性定义，内容如下： 设描述系统的状态方程为(3.1
3、31)(3.132)式中x(t)为n维状态向量，f(x(t),t)是n维向量，它是各状态变量和时间t的函数。如果 系统的某一状态，对所有时间t,都满足心二#(隔 = 则称二为系统的平衡状态。二是n维向量。当扰动使系统的平衡状态受到破坏时，系统就会偏离平衡状态二：，在一时，产生初始状态3=x。在时，如果对于任一实数 -丨，都存在另一实数厂，使得下列不等式成立恤一如| n 1劳斯判据的内容为：当（3.144）式表示的系统的特征方程，且劳斯判据第一列的所有元素都大于零 时，该线性定常系统是稳定的。这是用劳斯判据表示的线性定常系统稳定的充分必要条件。若劳斯表中第一列元素的符号正负交替，则系统不稳定。正
4、负号变换的次数就是位于S平面右半边的闭环极点的个数。例 11 已知控制系统的特征方程如下判断系统是否稳定。解劳斯表卫 18 20/ 516 0/ 4.8 20T -4.83 0o占 20劳斯表中第一列元素的符号改变了两次， 说明系统不稳定且有二个特征根位于 s 平面右半边。例 12 判断三阶系统稳定的条件。三阶系统的特征方程为弼十 023+ Q1E可 GO =0式中.-1均大于零。解劳斯表floa 2T 如伽根据劳斯判据，当满足系统稳定。例 13 某控制系统的特征方程是:0,025+ 0.35+ 黒 + ；v 一 0试确定 K 的稳定范围解劳斯表0.35 - 0.025Xi0.35 Is若要系统稳定，则必须0,35- 0,025/0 0由此可得出K的稳定范围为DK142.劳斯判据的特殊情况在应用劳斯判据判断系统是否稳定时，会遇到两种特殊情况；一种是劳斯表中第一列元 素出现零值，而该行其它元素则不全是零；另一种是劳斯表中某行元素全都为零。若遇 到这种情况，劳斯表就无法计算下去。下面，我们通过一些例子说
