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1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117 12. 3 幂 级 数授课次序78教 学 基 本 指 标教学课题 12. 3 幂 级 数教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点幂级数的收敛性与和函数教学难点幂级数的收敛区域；幂级数的和函数的简单性质参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学级数：progression , series；正项级数：positive series；交错级数：alternate series；幂级数：power series；一般级数：ordin
2、ary series；绝对收敛：absolutely convergence；条件收敛：conditional convergence；收敛半径：convergence radius；收敛区间：convergence interval；收敛区域：convergence region；和函数：sum function；课堂教学目标1 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；2 掌握较简单幂级数的收敛区域的求法；3 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质教学过程1函数项级数的概念和幂级数的概念（20min）；2幂级数的收敛区域（25min）；3幂级数的收敛区域举例（25min）4幂级数的和函数的简单
3、性质（20min）教 学 基 本 内 容 12. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列un(x), 由这函数列构成的表达式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为. 收敛点与发散点: 对于区间I内的一定点x0, 若级数收敛, 则称点x0是级数的收敛点.若级数发散, 则称点x0是级数的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数的和函数, 并写成.
4、un(x)是的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数un(x)的和函数, 并写成s(x)=un(x). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数的前n项的部分和记作sn(x), 函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收敛域上有或sn(x)s(x)(n) . 余项: 函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项. 函数项级数un(x)的余项记为rn (x), 它是和
5、函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收敛域上有. 二、幂级数及其收敛性 幂级数: 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常数a0, a1, a2, , an , 叫做幂级数的系数. 幂级数的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 幂级数的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 幂级数1+x+x2+x3+ +xn +
6、可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|1时它是收敛的; 当|x|1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有. 定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当x=x0 (x00)时收敛, 则适合不等式|x|x0|的一切x使这幂级数发散. 定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得当|x|R时, 幂级数发散; 当x=R与x=-R时, 幂级
7、数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+, 这时收敛域为(-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径. 例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 例2 求幂级数=的收敛域. 例3 求幂级数的收敛半径. 例4 求幂级数的收敛半径.
8、例5 求幂级数的收敛域. 三、幂级数的运算 设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R, R)内收敛, 则在(-R, R)与(-R, R)中较小的区间内有 加法: , 减法: , 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R)连续. 性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式 (xI ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式 (|x|R), 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数的和函数. 例7 求级数的和. 备注栏教学后记 12. 3 幂 级 数 第 1 页 共 5 页
