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1、机械能守恒定律（系统的机械能守恒）系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个 物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加， 做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能 就减少多少。系统间的相互作用力分为三类：1）冈I体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。3）其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。在前两种情况中
2、，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作 用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但 包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械 能的转换，系统的机械能就不再守恒了。归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动 类。（1）轻绳连体类这一类题目系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的 拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并 没有其它形
3、式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。例：如图，倾角为 的光滑斜面上有一质量为 M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为 m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是： M所受的 重力Mg，m所受的重力mg,斜面对M的支持力N,滑轮对细绳的作用力F。M、m的重力做功不会改变系统的机械能， 支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功， 滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的 外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能
4、在系统内部进 行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，M的重力势能和动能都增加，用机械能 的减少量等于增加量是解决为一类题的关键mgh Mgh sin1 2 1 2 -Mv mv 2 2可得v2gh(m M sin )M m需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系例：如图，光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过 定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接 m的轻绳 处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求m下降 b时两物体的速度大小
5、（2）轻杆连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统 的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相 互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以 系统的机械能守恒。例：如图，质量均为m的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自 由转动，两小球到轴的距离分别为 L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运 动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、轴对杆的作用力。A 2L *B两球受到的重
6、力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对A球做负功，对B球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量 的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件 在整个机械能当中，只有 A的重力势能减小，A球的动能以及B球的动能和重力势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有:mg2L mgL 1mvA *mvB根据同轴转动，角速度相等可知Va 2Vb所以:需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧
7、类。光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动,这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说例：四分之一圆弧轨道的半径为 R，质量为M，放在光滑的 水平地面上，一质量为 m的球（不计体积）从光滑圆弧轨道 的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度 分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是 M、m受到的重力和地面的支持力m的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也 对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧和 球之间的弹力，弹力对 m做负功，对M做正功，但
8、这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。在整个机械能当中，只有 m的重力势能减小，m的动能以及M球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有:mgR 1mvM 1mvm根据动量守恒定律知0 mvm MvM所以：Vmm2gR.M(M m)Vm M；M(MgRm)（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面 内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合 系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明例：质量为M的
9、小车放在光滑的天轨上，长为 L的轻绳一端=系在小车上另一端拴一质量为 m的金属球，将小球拉开至轻：2m,贝卩 vivV2C.若M v2m,则vi V2 D.不论M和m大小关系如何，均有viV2答案：D3.图 5 3 17在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项.质量为 m的跳水运动员进入水中 后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F,那么在他减速下降高度 为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)()A.他的动能减少了 FhB.他的重力势能增加了 mghC.他的机械能减少了 (F mg)hD.他的机械能减少了 Fh解析：由动能定理， 俎=mgh Fh,动能减少了
10、Fh mgh, A选项不正确；他的重力 势能减少了 mgh, B选项错误；他的机械能减少了 IE Fh, C选项错误，D选项正 确.答案：D4.图 5 3 18如图5 318所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为m = 0.1 kg的铁块， 它与纸带右端的距离为L= 0.5 m,铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为尸.现用力F水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘， 铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为s= 0.8 m.已知g= 10 m/s2，桌面高度为H=0.8 m,不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚动.求：(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块
11、下抽出所用时间t1； (3)纸带抽出过程产生的内 能E1解析：(1)水平方向：s= vt竖直方向：H= 2t2由 联立解得：v= 2 m/s.(2)设铁块的加速度为ai，由牛顿第二定律，得 丛mg= mai纸带抽出时，铁块的速度v= aiti1 联立解得t1 = 2 s.(3)铁块的位移sl=2alt2 设纸带的位移为s2;由题意知，S2 si = L由功能关系可得E=卩mgs+卩mg2 si)由联立解得E= J.答案：(i)2 m/s (2)2 s (3) J5.如图5 3 i9所示为某同学设计的节能运输系统.斜面轨道的倾角为37木箱与轨道之间的动摩擦因数 尸设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量m = 2 kg 的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动 装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程.若 g 取 iO m/s2, sin 37 =, cos 37 =.求：(1) 离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；(2)满足设计要求的木箱质量.解析:(i)设木箱质量为m；对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：mgsin 37 + gmgcos37 = ma代入数据解得：a
