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1、上海市虹口区2020届高三数学上学期期末教学质量监控试题（时间120分钟，满分150分）一填空题（16题每小题4分，712题每小题5分，本大题满分54分）1函数的定义域是 2已知是定义在上的奇函数，则 3首项和公比均为的等比数列，是它的前项和，则 4在中，所对的边分别是，若，则 5已知复数满足，则范围是 6某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 7已知、是三棱锥的棱，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则等于_.8在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与
2、抛物线的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 9已知和的图像的连续的三个交点、构成三角形，则 的面积等于_10设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则_.11在中，是的中点，点列在直线上，且满足，若，则数列的通项公式 12设，其中，如果函数与函数都有零点且它们的零点完全相同，则为 二选择题（每小题5分，满分20分）13异面直线和所成的角为，则的范围是（ ） 14命题：“若，则”的逆否命题为（ ）若，则或 若，则或 若，则且 若，则且15已知函数，则（ ） 16已知中，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，则的取值范围是（ ） 三解答题（本大题满分76分
3、）17（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，在三棱锥中，为的中点（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成的角的大小18（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数，其中，且此函数的最小正周期等于（1）求的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值19（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边，紧靠两条互相垂直的路上现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和（1）设（），将的面积表示为的函数；（2）求的面积（）的最小值
4、20（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.）已知平面内的定点到定直线的距离等于，动圆过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线在曲线上任取一点，过作的垂线，垂足为.（1）求曲线的轨迹方程； （2）记点到直线的距离为，且，求的取值范围；（3）判断的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由21（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分.）已知无穷数列的各项均为正数，其前项和为，.（1）如果，且对于一切正整数，均有，求；（2）如果对于一切正整数，均有，求；（3）如果对于一切正整数，均有，证明：能被8整除答案一、填空题（16题每小题4分，71
5、2题每小题5分，本大题满分54分）1、； 2、0； 3、1； 4、； 5、； 6、18； 7、； 8、； 9、； 10、4； 11、； 12、，； 二、选择题（每小题5分，满分20分）13、； 14、； 15、； 16、；三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1）为等边三角形，为的中点，2分 又，且，平面4分又在平面内，所以6分，且，平面7分（2）连结由（1）知平面，是直线和平面所成的角9分为等边三角形，.为等腰直角三角形，且， 13分直线和平面所成的角的大小等于14分18、（14分）解：（1）3分 由，且，4分由，解得，单调递增区间为7分（2）由，得.，即时，取得最大值211分
6、，即时，取得最小值14分19、（16分）解：（1），又，5分7分（2）设10分当且仅当即时，取得最小值414分20、（16分）解：（1）过点与垂直的直线为轴，轴与直线的交点为点，以的中点为原点建立直角坐标系设，到定点与到定直线的距离相等， 化简得：4分（2）设6分8分， ,10分（3）设，.由，得的平分线所在的直线方程就是边上的高所在的直线方程12分的平分线所在的直线方程为由，消得，的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点16分21、（18分）解：(1) 数列的各项均为正数，由，得，数列是等比数列，公比，从而4分(2) 由得，两式相减得，此数列各均为正数，数列和数列均是公差为1的等差数列由，得6分当为偶数时，当为奇数时，11分(3) 由得，两式相减得.，得，以下证明：对于，被8除余数为4， 被8整除，被8除余数为4.13分当时，命题正确假设时，命题正确，即，其中，那么，为正整数，被8除余数为4为正整数，能被整除 为正整数，被8除余数为4即时，命题也正确从而证得，对于一切正整数，能被整除18分
