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1、若尔当标准形的研究中文摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变 换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其 他领域都有极其广泛的应用。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若 尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶 矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时， 此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种 求解方法，对若尔当标准形进行探讨。关键字：若尔当标准形
2、、相似矩阵、初等因子、循环向量目录目录2第一章:绪论1第二章:若尔当标准形22.1若尔当标准形的定义22.2矩阵最小多项式32.3定理的证明6本章小结：103.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型113.2利用矩阵的秩133.3用循环向量法求若尔当形17本章小结：19第四章若尔当标准形的应用204.1可逆矩阵P的求法204.2常系数齐次线性微分方程的解24本章小结：27结论：28参考文献:30致谢:29第一章：绪论矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。 矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其 广泛的应用，因此矩
3、阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。入，a = b0or1,b = a = 10，ther其中入是复数。由若干个若尔当块组成J (a, b)= 在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。若尔当矩阵理论说明了 任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。或者说， 如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当 标准型。若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是 零。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况。在高等代数中我们知道形如，的准对角矩阵称为若尔当形矩阵。每
4、个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个 若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标 准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量 个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。首先对若尔当标准性的定义（像这样本文在了解若尔当标准形的基础上，进一步做出探究，(人) 100.00Jk R)0.000Jk 3（妇.00000.J (九)f Jks s)进行分析。第二章主要是对矩阵的极小多项式进行分及的矩阵，我们把它称为若尔当矩阵）其求解过程，以及对可逆矩阵P的求法做出了探讨。并对矩阵相似的定理做出了证明。第三 章主
5、要是对若尔当标准形的求解方法做出了探讨，通过利用初等因子求解矩阵的若尔当标准 型、利用矩阵的秩求解若尔当标准型和利用循环向量来求解若尔当标准性。通过以上三种方 法对矩阵的若尔当标准性的求解过程做出了深刻详细的求解过程，引用鲜明的例子对以上求 解方法做出相应的解释。第四章主要是对若尔当标准形在微分方程中的一个应用。矩阵理论学习就是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的理论。它不仅是高等代数 的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力 工具。矩阵的标准型具有结构简单、已与计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。 因此，掌握矩阵的相似标准化的方法在解决
6、实际问题时，往往可以起到事半功倍的效果。第二章：若尔当标准形2.1若尔当标准形的定义定义：上三角矩阵0 0 0、0c00J (c)W 00c.0*n000c)称为若尔当块(jordan block)o由若尔当块构成的对角矩堂)000 JM)000仲000称为若尔当矩阵。2.2矩阵最小多项式定义2.21：设A G Mn (K)是一个矩阵，如果多项式f (人)=a Xm + a Xm-1 + + a 人 + a使得 f( A)= a Am + a Am-1 + + a A + a E = 0则称f (X)是A的零化多项式。A的次数最小的首一零化多项式称为A的极小多项式(minimal polymi
7、al)，记为 ma (X)。引理2.21： mA(X)整除A的任意零化多项式。特别的mA(X)I fA(X)。证明 设f(X)是A的任一零花多项式，则f(A) =0。由带余除法定理可知 f (X) = mA(X)q(X) + r(X)，r(X) = 0 或d0(r(X) 10000000m (X) = m (X) = X 2AB2B )3y但A、B不相似。引理2.24设A为n阶方阵且A相似于(B B01其中、B为方阵，则mBSX），mB2（X）1气g特别的由引理3知当B2= 0时m （人）=m （人）=mB （X）, mB （九）定理2.21设人吃f (X) = (X X ) r(X X )
8、t2.(K X) r, / ri = nA12ii=1mA(X) = (X X/ (X _ X/ .(X X),其中1 t r ,1 i 1且一切阶数小于n的矩阵都相似于一个若尔当形矩阵，现在我们就来看n阶矩阵的情况。它看作n为向量空间V的线性变换仅 a a ）r j0121n10A =T-1 AT =:A111L0JL 0设A为n阶矩阵，我们将J2JJ关于基，板， & 的矩阵任取b的一个特k K于空 12 n，征根人0，设气是b的属于特征根人0的特征向量,士己去4曰 xr 曰甘a ,a , ,a 卫r刀 由匕正充待V待个基1 2 n，那么b关于这个基的矩阵是一个与A相似的矩阵A ,a12其中
9、A1为n-1阶矩阵，根据归纳假设可知，存在n-1阶可逆矩阵T1，使得1 0 . 0、0T=.:T(Xo0i为若尔当标准型，现令 b /?12InJ1那么T的可逆且八= 8有以下形状：JjO 1 1 X 人，。0 0 0 . X 1其中七为形如。0。V的若尔当块。因此存在V的一个基年2,使线性变换b关于这个基的矩阵B。如果b至少有两个不同的特征根，我们不妨设X*、并设匕的阶数为n-m (lmn-l)取V的基使L =叩=1，2质,匕=/ +叩 = m + l,其中m+lb -x十, j = m + 2,X -Xk o那么我们将有。(丫 )= m q(y )=丫 +冗丫 ，j = m+2,，.+1 k 77?+1j j-1 k m+l于是b关于基(Y1，Y2；，YJ的矩阵C于A相似，且有以下形式:X b b 0 0012Im0 J1!(c o)C = .=1:J 0 Jk-1v
