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1、4.3三角函数的图像与性质最新考纲考情考向分析1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(
2、2，0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR，且xk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无知识拓展1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则：(1)f(x)为偶函数
3、的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限上是增函数()(2)由sinsin知，是正弦函数ysin x(xR)的一个周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二教材改编2函数f(x)cos的最小正周期是 答案3y3sin在区间上的值域是 答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4ytan 2x的定义域是 答案解析由2xk，kZ，得x，kZ，yt
4、an 2x的定义域是.题组三易错自纠5下列函数中最小正周期为且图像关于直线x对称的是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin答案B解析函数y2sin的周期T，又sin1，函数y2sin的图像关于直线x对称6函数f(x)4sin的递减区间是 答案(kZ)解析f(x)4sin4sin.所以要求f(x)的递减区间，只需求y4sin的递增区间由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f(x)的递减区间是(kZ)7cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是 答案sin 68cos 23cos 97解析sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，sin
5、68cos 23cos 97.题型一三角函数的定义域和值域1函数f(x)2tan的定义域是()A. B.C. D.答案D解析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故选D.2函数y的定义域为 答案(kZ)解析方法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图像，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为.3(2017郑州月考)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则
6、实数a的取值范围是 答案解析x，x，当x时，f(x)的值域为，由函数的图像(图略)知a，a.4(2018长沙质检)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为 答案解析设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)(A，0
7、)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域题型二三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调性典例 (1)函数f(x)tan的递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)tan的递增区间是(kZ)，故选B.(2)(2017哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数ysin xcos x的递增区间是 答案解析ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函数的递增区间为(kZ)，又x，递增区间为.命题点2根据单调性求参数典例 已知0，函数f(x)sin在上是减少的，则的取值范围是 答案解析由x，
8、0，得x，又ysin x的递减区间为，kZ，所以kZ，解得4k2k，kZ.又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函数f(x)cos在上是增加的，则的取值范围是 答案解析函数ycos x的递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解
9、跟踪训练 (2017济南模拟)若函数f(x)sin x(0)在区间上是增加的，在区间上是减少的，则等于()A. B.C2 D3答案B解析由已知得，T，.题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1三角函数的周期性典例 (1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()A BC D答案A解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图像知y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，故选A.(2)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为 答案2或3解析由题意得，12，k2k，即k，又k
10、Z，k2或3.命题点2三角函数的奇偶性典例 (2017银川模拟)函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为 答案解析由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin3，k，kZ，又0，.命题点3三角函数图像的对称性典例 (1)(2018武汉模拟)若函数ycos(N)图像的一个对称中心是，则的最小值为 答案2解析由题意知k(kZ)，6k2(kZ)，又N，min2.(2)(2016全国改编)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图像的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为 答案9解析因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图像的对称轴，所以，
11、即T，所以2k1(kN)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，若11，又|，则，此时，f(x)sin，f(x)在上是增加的，在上是减少的，不满足条件若9，又|，则，此时，f(x)sin，满足f(x)在上单调的条件由此得的最大值为9.思维升华 (1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.跟踪训练 (1)(2017安徽江南十校联考)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且任意xR，有f(x)f成立，则f(x)图像的一个对称中心坐标是()A. B.C. D.答案A解析由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图像的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图像的对称中心为.(2)若将函数f(x)sin的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称，则的最小正值是 答案3解析若将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称，则平移的大小最小为，所以，即Tmax，所以当T时，min3.三角函数的图像与性质考点分析
