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1、1.对Runge函数R(x)=用在区间丄1下列条件作插值逼近，并和R(x)的图像进1 + 25x_行比较。(1) 用等距节点 =-l + ih，h=0.2,绘出它的10次Newton插值多项式的图像。(2) 用节点洛=-1+ cos(i) (1=0,1,.,10),绘出它的10次Newton插值多项式的图22像。(3) 用等距节点兀=-l + ih, h=0.2,绘出它的分段线性插值多项式的图像。(4) 用等距节点=-1 + 111, h=0.2,绘出它的三次自然样条线性插值多项式的图像。解：Newton插值曲线与原曲线比较当x在中|hJ取值范闱时,N ev/ton插值曲线与原曲线比较接近，但
2、是当x在两端时,N ewton 插值曲线与原曲线相差越来越人，出现了 Runge现象。插值余项 (x)= fx,Xo，X,xjfjd-Xi).i=0由插值多项式的唯一性知(xXNJx),因此，牛顿插值与拉格朗口插值有相同的余 项表达式，即(n-H) / p- nxi人(x)=f(x) Nx)二时耳(x小 fg.，宓(r ),jb由此有fX,Xg,Xj二牛顿前插公式为Nn（Xo + th） = f0 +1 Afo +f0 + +，（t11 + 1）An f0 2!n!其余项为 Ri （x） = f（x）-Nn （Xg + th） =J hn+1 f 张（Xg, xj（n + 1）!牛顿后插公式为
3、+ th） = fn + tVfn +fn + + t（t + 1）-（t + n1）vnf其余项为 （X）= f（X）-叫（耳 + th） = t（t+：） + 】）严 fG （观,）（n + 1）!Lagrange插值曲线与原曲线比较在这里由于x不是等距节点，Lagrange插值曲线与原曲线比较接近，没有出现Runge 现象。给定(兀,yJQ =(),)，构造次数不超过11的拉格朗口插值多项式Ln(x)=董(X)f(兀)=f().i=O1=o j=o - Xj称Ln(x)为f (X)关于Xo , X,的II次拉格朗口插值多项式，它满足一（兀）=f（5q）J = OX- -,n.其中h(X)
4、称为Xq,X,Xn为结点的1】次插值函数，它满足fl,i = jh (x ) = % =彳 )J 0,iH j,i,jn(X)=1( 一 Xo)(兀一 X X壮)(兀一Xn)设Ln(x)是a,b关于(兀,yJQ = (),n)的n次插值多项式,f(x)在a,b上有n阶连续导数，f(n41)(x)在a,b上存在，则其余项为RJx) = f(x)-Ln(x) = -一J(x兀),歹 e a,b (n + 1)! to-分段线性插值函数在区间上是一致收敛的，曲线与原曲线比较接近，不会出现Runge 现象，但是需要用分段函数来表示。 n越大，分段越多，节点间距越小，分段直线越逼近于原函数曲线； 由于在
5、每个节点处，分段线性插值函数都是取该点的原函数的值，故h(x) 具有很好的收敛性，不会像拉格朗日插值那样出现振荡现象； 由于对于x点的插值，分段线性插值只用到x左右的两个节点，并且用直线 直接相连，因此分段线性插值在节点处不光滑。三次样条插值曲线与原曲线比较三次自然样条插值曲线与原曲线很接近。设f(x) g c4a,b,s(x)为三次样条插值函数，则有估计式|f(k)_s(k)Lcf |wh4-k , k = 0J,2.其中：11 = max h = x - x,0i=xO(i)&(x(j)=xO(i+l)yx(j)=(x(j)-xO(i+l)/(xO(i)-xO(i+l)*yO(i)+(x(
6、j)-xO(i)/(xO(i+l)-xO(i)*yO(i+l);endendendfigure;plotfx.yx/r/LineWidth);hold on;plot(xMb：LineWidth：2);grid on;plot(xO/yO/,ok,/,markersize,6/,LineWidth,6)hold ontitle。分段线性插值曲线与原曲线比较：fontsize：24);xlabelfx 轴：fontsize：20);ylabelCy 轴：fontsize：20);legend(分段线性插值曲线T原曲线:l/(l+25*xA2);set(gca,fon tsize,16)x0=-l
7、:0.2:16 节点yO=l./(l+25*xO.A2);x=-l:0.01:l; %插值计算点y=l./(l+25*x.A2);yx=csape(xO,yO/second,);figure;plot(x,fnval(yx,x),rVLineWidth：2); hold on;plot(xMb：LineWidth：2);grid on;plotfxOO/ok/markersize/LineWidth1)hold ontitle(三次样条插值曲线与原曲线比较fontsize,24);xlabelfx 轴：fontsize：20);ylabelCy 轴：fontsize：20);legend(三次样条插值曲线T原曲线:l/(l+25*x2)；set(gca,fon tsize,16)
