二次函数的图像与系数的关系[教学备用]

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1、二次函数的图像与系数的关系1已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,有下列5个结论:abc0;3a+c0;4a+2b+c0;2a+b=0;b24ac.其中正确的结论的有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象,关于该二次函数下列说法正确的是()A. a0,b0,c0B. b24ac0C. 当1x2时,y0D. 当x2时,y随x的增大而增大3如图,二次函数图象,过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A. 2a+b=0 B. ac0 C. D. 4已知函数y=mx26x+1(m是常数),

2、若该函数的图象与x轴只有一个交点,则m的值为( )A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或15如图,二次函数的图象的对称轴是直线,则下列理论:, ,当时, 随的增大而减小,其中正确的是( )A. B. C. D. 6已知y=ax+b的图象如图所示,则y=ax2+bx的图象有可能是()A. B. C. D. 7二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:4a+b=0;9a+c3b;25a+5b+c=0;当x2时,y随x的增大而减小其中正确的结论有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8如下图,已知经过原点的抛物线y=ax2

3、+bx+c(a0)的对称轴是直线x=-1,下列结论中ab0,a+b+c0,当-2x0时,y0正确的个数是()A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个9二次函数与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系内的大致图象是( )A. B. C. D. 10如图是二次函数图象的一部分,对称轴为,且经过点,有下列说法:;若是抛物线上的两点,则,上述说法正确的是( )A. B. C. D. 11在同一坐标系中,一次函数与二次函数的图象可能是( )A. B. C. D. 12如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则点(a , bc)在()A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限13二

4、次函数yax2bxc(a0)图象上部分点的对应值如下表:x32101234y60466406则使y0的x的取值范围为_14已知二次函数的图象与x 轴交于点, ,且 ,与轴的正半轴的交点在的下方下列结论: ; ; ; 其中正确结论有_.(填序号)15已知二次函数的图象如图所示,有以下结论:;其中所有正确结论的序号是_(填序号)16如图,二次函数的图象开口向上,图象经过点(1,2)和(1,0),且与y轴相交于负半轴。给出四个结论:; ,其中正确结论的序号是_资料公式c参考答案1D【解析】由题意得: 则: .得 故正确;3a+c=0,由抛物线的对称轴位置得b0,由抛物线与y轴的交点位置得c0,抛物线

5、的对称轴在y轴的右侧,b0,抛物线与y轴的交点在x轴下方,c0,所以B选项错误;抛物线与x轴交于点(1,0)、(2,0),当1x2时,y2在对称轴的右侧, y随x的增大而增大,所以D选项正确。故选D.点睛:本题主要考查二次函数图象与系数符号的关系及二次函数的增减性.通过分析函数图象得出相关结论是解题的关键.3A【解析】由图象可知,抛物线开口向下,a0;对称轴为直线=1,则b0,抛物线与y轴的交点在x轴上方, c0,即得ac0,选项B错误;由对称轴为直线=1,可得2a+b=0,选项A正确;由对称轴为x=1,抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则,抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),所

6、以x=-1时,y=a-b+c=0,选项C不正确由图象可知,抛物线与x轴有两个交点,可得 ,即,选项D不正确,故选A.点睛:二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右(简称:左同右异)常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于(0,c)抛物线与x轴交点个数,=b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b2-4ac

7、0时,抛物线与x轴没有交点4C【解析】当m=0时,函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点;当m0时,若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx26x+1=0有两个相等的实数根,所以=(6)24m=0,m=9.综上,若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.故选:C点睛:此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点,是典型的分类讨论思想的应用.5C【解析】根据抛物线开口向下即可得出a0,错误;由得出b=-2a,将其代入2a-b可得出2a-b=4a0,将x=1代入抛物线解析式即可得出a+b+c0,正确;根据函数图象可知当x=-1时,y0,将

8、x=-1代入抛物线解析式即可得出a-b+c1时y随x的增大而增大,正确. 综上即可得出结论.解:, ,错误又, 错误又当时,正确当时,正确又当时随的增大而减小是正确6D【解析】试题解析:y=ax+b的图象过第一、三、四象限,a0,b0,对于y=ax2+bx的图象,a0,抛物线开口向上,x=-0,抛物线的对称轴在y轴的右侧,c=0,抛物线过原点故选D7D【解析】已知抛物线的对称轴为直线x=2,可得b=-4a,即4a+b=0,正确;由图象可知当x=-3时,y0,所以9a-3b+c0,即9a+c3b,正确;已知抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),对称轴为直线x=2可得抛物线与x轴的另一个交点为(5

9、,0),所以25a+5b+c=0,正确;观察图象可知当x2时,y随x的增大而减小,正确故选D点睛:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由决定,=b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b2-4ac0时,抛

10、物线与x轴没有交点8D【解析】 , . , , ,故正确;当 时, , ,故正确;对称轴是直线x=1,x1=0, x2=-2, 当2x0时,y0,故正确;故选9D【解析】A. 由抛物线知,a0;由直线知a0,c0,c0,c0,c的值矛盾,故本选项错误;C. 由抛物线知,a0,c0;由直线知a0,c0,a的值矛盾,故本选项错误;D. 由抛物线知,a0;由直线知a0,两结论一致,故本选项正确。故选D.10A【解析】二次函数的图象开口向下,a0,二次函数的图象交y轴的正半轴于一点,c0,对称轴是直线x,ba0,abc0故正确;由中知ba,ab0,故正确;把x2代入yax bxc得:y4a2bc,抛物

11、线经过点(2,0),当x2时,y0,即4a2bc0故错误;(0,y )关于直线x的对称点的坐标是(1,y ),yy故正确;综上所述,正确的结论是故选:A.点睛: 本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用,注意:当a0时,二次函数的图象开口向上,当a0时,二次函数的图象开口向下11D【解析】二次函数yxa抛物线开口向上,排除B,一次函数yax2,直线与y轴的正半轴相交,排除A;抛物线得a0,排除C;故选D12D【解析】试题分析:根据二次函数的图象判断a、b、c的符号,再判断点(a , bc)所在的象限解:抛物线开口向上,a0,抛物线对称轴y=0,b0,抛物线与y轴交于负半轴,c0,bc0,点(a,bc)在第四象限。故选D.132x3【解析】试题解析:由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(-2,0)、(3,0),画出草图,可知使y0的x的取值范围为-2x3【方法点睛】由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(-2,0)、(3,0),然后画出草图即可确定y0的是x的取值范围观察二次函数的对应值的表格,关键是寻找对称点,顶点坐标及对称轴,利用对称性解答14【解析】由二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(2,0),4a2b+c=0,故正确;因为图象与x轴两交点为(2,0),( ,0),且12,对称轴x=,则对称轴0,且a0,ab0

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