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1、高中数学第2章统计2.2总体分布的估计名师导航学案苏教版必修322总体分布的估计名师导航三点剖析 一、频率分布表 1定义 总体分布反映了总体在各个范围内取值的频率，由于总体很大或不便于获得，因此我们可以利用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表. 2列频率分布表的步骤 在初中我们所接触的频率表是通过历史上所做的抛硬币的大量重复试验得到的.在这个试验中，抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，每次试验的结果是总体中的一个个体，如果我们从中抽取一个容量为72 088的样本，其中正面向上的结果数为36 124，反面向上的结果数为35 964,则我们就可以得到如下一
2、个频率分布表:试验结果频数频率正面向上36 1240.501 1反面向上35 9640.498 9 这类试验只有两种结果，比较简单，下面我们就通过实例来研究较为复杂的频率分布表的制作方法. 例如:从规定尺寸为2540mm的一堆产品中任意抽取100件，测得它们的实际尺寸如下: 25.3925.3625.3425.4225.4525382539254225472535254125.4325.44 25.4925.4525.4325.46254025512545254025392541253625.3825.31 25.5625.4325.4025.3825.37254425332546254025
3、39253425.4225.50 25.3725.3525.3225.4525.4025272543255425392545254325.4025.43 25.4425.4125.5325.37253825242544254025362542253925.4625.38 25.3525.3125.3425.40253625412532253825422540253325.3725.41 25.4925.3525.4725.34253025392536254625292540253725.3325.40 25.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39
4、如果把这堆产品的尺寸的全体看作一个总体，则上面数据就是从总体抽取的一个容量为100的样本.在这组数据中,最小值为25.24，最大值为25.56，它们相差0.32，可取区间25235，25565.我们可将此区间分成11个区间，每个区间长度为0.03，再统计出每个区间内的频数，并计算相应的频率，将结果填入下表:分组频数累计频数频率25.235,25.265)110.0125.265,25.295)320.0125.295,25.325)850.0525.325,25.355)20120.1225.355,25.385)38180.1825.385,25.415)63250.2525.415,25.
5、445)79160.1625.445,25.475)92130.1325.475,25.505)9640.0425.505,25.535)9820.0225.535,25.565)10020.02合计1001.00 这张表给出了产品尺寸处于各个区间内的个数和频率，由此可估计这一堆产品的尺寸分布情况，这就是该样本的频率分布表.在表中频数是指落在各小组内的数据的个数.频率是各组的频数与数据总数的比值. 由上面的制表过程可得编制频率分布表的步骤如下: (1)计算数据中最大值与最小值的差，算出了这个差就可以知道这组数据的变动范围有多大. (2)决定组数与组距.将这一批数据分组，目的是要描述数据的分布规
6、律，要根据数据的多少来确定分组的数目.一般来说，数据越多，分的组也越多. (3)决定分点.要使分点比数据多一位小数，并且把第1组的下限略去或把第1组的起点稍减小一点. (4)列频率分布表.登记频数，计算频率，列出频率分布表. 频率分布表能反映数据在某一范围内出现的可能性.如果这一范围是由几组数据组成的，则其出现的可能性为这几组数据的频率之和.在编制频率分布表时，若题目已给出了组距和组数，可以直接列出频率分布表. 3频率分布的优点和缺点 频率分布表的优点是:能直接反映数据在各范围内的频数和频率；其缺点是:不能直观地反映数据的频率分布, 分布表是否正确. 二、频率分布直方图 1定义 频率分布表虽然
7、能体现出数据的分布规律，但它并不直观，为了直观地体现数据数的分布规律，我们需要画频率分布直方图.在初中，我学过如何绘制频数直方图，它能直观地体现数据的分布规律.同样我们可以用直方图来反映样本的频率分布规律.这种反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图，简称频率直方图. 2绘制频率分布直方图的步骤 为了形象地说明绘制频率分布直方图的步骤，我们还以具体的实例来说明频率分布直方图的画法. 例如:有一个容量为50的样本数据的分组及各组的频数如下: 12.5，15.5),3；15.5，18.5),8；18.5，21.5),9；21.5,24.5),11； 24.5，27.5),10；27.5，3
8、0.5),5；30.5，33.5), 4 列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图. 分析:本题主要考查频率分布表的编制和频率分布直方图的绘制及频率分布表的应用.由于题中数据已分组，所以在列频率分布表时，只要直接计算出每小组数据的频率填入表中即可. 解:样本的频率分布表、频率分布直方图如下:频率分布表分组频数累计频数频率12.5，15.5)330.060.0215.5，18.5)1180.160.05318.5，21.5)2090.180.0621.5,24.5)31110.220.07324.5，27.5)41100.20.06727.5，30.5)4650.10.03330.5，33.5)
9、5040.080.027合计501.000.333频率分布直方图(如图6-1所示):图6-1所以，要绘制此样本的频率分布直方图，有以下几步: (1)先列出频率分布表，然后作出直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示； (2)在横轴上标上125，155，335表示的点(为了方便，第一个数据点可以前移)； (3)在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底边作矩形，其高等于，至此，就得到了这组数据的频率分布直方图. 一般地，画频率分布直方图方法如下: 把横轴分为若干段，每一段对应一组的组距，然后以线段为底，作一个矩形，它的高等于该组的，作出一系列的矩形；每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就
10、构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1 3频率分布直方图的两种类型 用样本频率分布估计总体分布通常分两种情况: (1)当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取的样本的不同值及其相应频率表示，其几何表示就是相应的条形图.条形图中，纵轴表示的是频率，条形图的高为该组数据的频率.但应注意:“总体中的个体取不同数值很少”并不是指“总体中的个数很少.” 例如:前面所接触到的抛掷硬币的试验中，尽管样本的容量达到了72088，但试验结果只有两种,即正面向上和反面向上.如果记“正面向上”的结果为0，记“反面向上”为1，则样本中数据只有两个取值.此时，该样本的频率分布表的几何
11、表示就为相应的条形图. (2)当总体中个体取不同值较多，甚至无限时，对其频率分布研究用到初中学过的整理样本数据的知识，用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布. 4频率分布直方图的优点和缺点 频率分布直方图虽然能直观体现数的分布规律，但要绘制频率分布直方图过程比较复杂，且它不能直接体现数据的频数分布. 三、频率折线图与总体的密度曲线 1频率折线图的定义 将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就可以得到一条折线，这条折线就是本组数据的频率折线图. 2频率折线图的画法 频率折线图是在频率分布直方图的基础上，取直方图中各小矩形的上底边的中点连结而成的.画频率折线图时还应注意:取
12、值区间两端点需分别向外延伸半个组距，以使折线首尾分别与横轴相连. 3频率折线图的优点与缺点 频率折线图的优点是它能反映数据的变化趋势，但它不能直接体现数据的分布规律. 4总体的密度曲线 在画频率折线图时，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，这条折线将趋于一条曲线，这一曲线为总体的密度曲线，它能反映出总体分布规律. 例如:为了估计某产品寿命的分布，对产品进行抽样检验，记录如下(单位:小时): 203397597402102303289312501316488355585355 413316197479384278522363234432357566111333 46726532653
13、4318552323188352447452337123370 399445365549248316459331176554368412374251 327489329246316475311260133314426366213495 335540338407586331290368410167320510364276 305417307524573326146227317407369214504425 153214 (1)作出频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率折线图； (3)估计产品寿命在200500h以内的百分率； (4)估计产品寿命在400h以上的百分率. 分析:此题中样本数据取不同的值较多，属于总体分布的第二种情况.将样本中数据适当分组统计各组中数据的频数，计算其频率即可. 解:(1)该组数据中最小值为102，最大值为597，差为495，可分为5组.列表如下:寿命/h频数累计频数频率10020010100.100.00120030025150.150.001 53004006
