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1、4.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件 2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法学习重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定难点: 零点的确定学习过程(一)课题1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？2先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数 方程与函数 （二） 研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做
2、函数的零点函数零点的意义： 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数零点的求法：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点1根据函数零点的意义，其求法有：代数法； 几何法2根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论 二次函数的零点：二次函数（），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（），
3、方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点3零点存在性的探索：（）观察二次函数的图象： 在区间上有零点_；_，_,_0（或） 在区间上有零点_；_0（或）（）观察下面函数的图象 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或）（三）、巩固深化，发展思维1例题例1 求函数f(x)=的零点个数。问题：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 例2求函数，并画出它的大致图象2P88页练习第二题的（1）、（2）小题（四）、作业 P88页练习第二题的（3）、（4
4、）小题。4.1.2用二分法求方程的近似解(1) 学习目标理解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。 学习重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。难点：为何由a b 便可判断零点的近似值为a(或b)?学习设想（一）、创设情景 提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程 x2x6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=x2x6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、新知 一个
5、直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.084,因为f(2.5)*f(3)0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)0.512,因为f(2.75)*f(2.5)0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤
6、后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于2.53906252.53125=0.00781250.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=x2x6零点的近似值，即方程x2x6=0近似值。这种求零点近似值的方法叫做二分法。1认真理解二分法的函数思想，根据课本上二分法的一般步骤，探索求法。 2为什么由a b 便可判断零点的近似值为a（或b）？说明：设函数零点为x0，则ax0b，则：0x0aba，abx0b0；由于a b ，所以x0 a ba,x0 b ab,即a或b 作为零点x0的近似
7、值都达到了给定的精确度。、巩固深化，发展思维1 完成下面的例题例2借助计算器用二分法求方程2x3x7的近似解（精确到0.01）问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解（四）、归纳整理，整体认识 在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：（1） 本节我们学过哪些知识内容？（2） 你认为学习“二分法”有什么意义？（3） 在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？（五）、布置作业 P92习题3.1A组第4题，第5题。4.1
8、.3用二分法求方程的近似解(2)学习目标继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质；通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。学习重点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.学习难点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.学习过程一、创设情景，引入新课观察二次函数f（x）=x22x3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x22x3在区间2，1上有零点.计算f（2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间2，4上是否也具有这种特点呢?探究可以发现，在区间2，1的端点上，f（2）0，f（1）0，即f（2）f
9、（1）0，函数f（x）=x22x3在区间（2，1）内有零点x=1，它是方程x22x3=0的一个根.同样，在区间2，4的端点上，f（2）0，f（4）0，即f（2）f（4）0，函数f（x）=x22x3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x22x3=0的另一个根.我们能从二次函数的图象看到零点的性质：1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.例如，函数y=x2x6的图象在零点2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.2. 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.二、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在
10、区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.2.应用举例【例1】 教科书P88例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.（1）函数f（x）=lnx+2x6的图象可利用计算器或计算机画出.通过观察
11、教科书上的图3.13，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表31，可以用计算器或计算机得出，通过动手实践获得对表31的认同.通过观察表31，结合图象3.13，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、h（x）=2x6在（0，+）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+）上是增函数.【例2】 已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：对任意实数x1x2，且f（x1）
12、=f（x2）时，满足x1+x2=2；对任意x1、x2（1，+），总有f（）.则方程ax2+bx+1=0根的情况是 （ ）A.无实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根方法探究：（1）本题由条件，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件，知函数f（x）是凸函数，即a0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件，知函数f（x）的图象开口向下，即a0.又由x1x2=0，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.方法技巧：解析（2）的
13、求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】 研究方程|x22x3|=a（a0）的不同实根的个数.方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x22x3|与y=a的图象的交点的个数.解：设y=|x22x3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0a4时，有四个实根.方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.三、课堂练习教科书P88练习题1.（1）（2）四、课堂小结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.2.本节学习的数学方法：归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.五、作业教科书P92习题3.1 1、2、3.
