《初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一讲走进追问求根公式形如ax2 bxc=O ( a=0 )的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式xi2bb 一麻 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元12a二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问 题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多
2、项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足(n2 -n -1)n 2 =1的整数n有个。思路点拨：从指数运算律、土 1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设Xi、X2是二次方程X2，x_3=0的两个根，那么Xi3 -4X22 19的值等于()A、一一 4 B、8C、6 D、0思路点拨：求出捲、X2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 x12 =3-， x22 =3x2。【例3】 解关于x的方程(a - 1)x2 -2ax a =0。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分 a -1 =0及a -1 =0两种情况讨论。【例4】设方程x2 -2x -1 -
3、4 =0，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。1111【例5】 已知实数 a、b、c、d互不相等，且a=b-=c=d =x， 试求x的值。b c d a思路点拨：运用连等式，通过迭代把 b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值。注：一元二次方程常见的变形形式有：2(1)把方程ax bx c =0( a =0 )直接作零值多项式代换；把方程ax2 bx c =0 ( a =0 )变形为ax2二-bxc，代换后降次；(3)把方程ax2 bx c = 0 ( a山0)变形为ax2，bx二-c或ax2 c- -bx，代换后使之转
4、化关系或整体 地消去x。解合字母系数方程ax2亠bx亠c =0时，在未指明方程类型时，应分a =0及a=0两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如x2=x2 =x2。#走进追问求根公式学历训练1、已知a、b是实数，且J2a+6 +b_72 =0 ,那么关于x的方程(a+2)x2+b2x =a_1的根322、已知x2 _3x_2 =0 ,那么代数式(X-1)x 1的值是X13、若 x2 xy 14， y2 xy 28，贝U x y 的值为4、 若两个方程x2 ax b =0和x2bx=0只有一个公共根，则()A、a=bB、a b=0C、a b=1D、a b=_15、
5、当分式 一 J有意义时，x的取值范围是()x3x 4A、 x ： 1B、 x 4C、 一1 ：: x ：4 D、 x - -1 且 x = 46、 方程(x 1)x 1 -xx V =0 的实根的个数是() A、0 B、1 C、2D、37、解下列关于x的方程：(1)(m_1)x2 +(2m_1)x+m_3=0 ；(2)x2x _1 =0 ；(3) x2 +4x=62x。8、已知 x2 -2x-2=0，求代数式(x-1)2 (x 3)(x3) (x3)(x1)的值。9、是否存在某个实数 m,使得方程x mx 2 0和x 2x m 0有且只有一个公共的实根 ？如果存在, 求出这个实数 m及两方程的
6、公共实根；如果不存在，请说明理由。注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而 不求，通过消去二次项寻找解题突破口。22510、若 x -5x1=0，贝y 2x -9x 3 r =。x2 +111、 已知m、n是有理数，方程 x2 mx n = 0有一个根是5 -2，贝U m n的值为12、已知a是方程x2 _x_2000=0的一个正根。则代数式20002000 _2000 1 -的值为3个，则m值等于（13、对于方程x2_2x 2=：m，如果方程实根的个数恰为A、1 B、2 C、.3 D、2. 5214、自然数n满足
7、（n2 _2n_2）n W =（n2 一2n_2）16n6，这样的n的个数是（）A、 2B、 1C、 3D、 415、已知a、b都是负实数，且- ，那么-的值是（）a b a -b =0a2C、1.5 43216、已知 x - . 19 -8 “ 3，求 x -6x J* 18x 23 的值。 x -8x 十1517、已知 m、n 是一元二次方程 x2 2001x=0 的两个根，求（m2 2000m - 6）（m2 2002n - 8）的值。18、在一个面积为I的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和DCi Q它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面
8、积为，求n的值。328119、已知方程x2 -3x 0的两根:- 也是方程x4-px2 q=：0的根，求p、q的值。S abc = n S 矩形20、如图，锐角 ABC中，PQRS是厶ABC的内接矩形，且 然数求证：BS需为无理数。ABU追问求报公式【例题求解】例1 4 提力h由ji +2用THO得n= 一2由H3 用一1= 1得n= 1 2 ；由畀一可一1 = 一 i且用+ 2为偶数得 =0*例2 选A 由题意有 汩+心一3 = 0 豉十卫一3冃0甲即工f =$Hi+_r? =3 卫原式* (3 jti ) *4(3 J2) + 19 = 3jti jrf + 4巧 + 7 = Sxi (3
9、 JT ) + IJ2 + 7 = 4(j-i +卫)+4 = 4 X ( 1 )+4 = 0例3(!)=J时，方程的报为Jr = y;当口0且口工】时方程有两个不相等的实数根工产茫孑严=訐%当“冃0时*方祥有两个相等实根巧=孔=0；当uVO时，方程没有实数帳.例4 当2-10即寺时.原方程化为+2工一3 = 0,解得舍幻；当2t1=0即z = y时*代人原方 程不合*舍去；当2j-1y = 2-#.例 5 由已知有：由= *(=- *代入r+Z=jr 得-一-+-y = 0,即cAr 泌+ 1 )j2(2/a) j+0时池=-1(舍却*当一1整*0时.原方稈没有实根*当x = -(7-2001+l)1993.匾 儿=专.匚G =+，凡p1jAASKABC-dy-4-a A njy rtjr 整理得2n-rz -歸話十卅=0(f) 一千+ 1 = *代 千=寺士占_亦中显然朋一2n2)1.故E-2rt不雄完全平方数,V-2n为Jt理敝，从而竺为无理数，于是驴=孚为无理数.JiHA h
