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1、、（1）对于简立方结构：（见教材P2 图 1-1)a=2r,4V=3r3, Vc=a3, n=14-x i43一 r3 0.528r36（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG= ,3a 4r4.3a x3n=2, Vc=a 342 33 a,380.68(3)对于面心立方：晶胞面对角线BC= ,2a 4r,a 2. 2r3Vc=a(4)对于六角密排:a=2r晶胞面积:S=6 S aboa asin60 3 . 36 =晶胞的体积:V=C 3a2224 2r31 n=121263=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= .3a4 2r8r3n=8, Vc=a证明：（1）面心立方的正格子基
2、矢（固体物理学原胞基矢）：r由倒格子基矢的定义：ba3)0,a2,r j,r a1r a?,rrrQa a3)2, 0，a3r一,a24r a30,i(jr k)a r 2(ia r 2(ir k)r j)r k)rb2同理可得：rb3-(r a(iark）即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同 rk）所以，面心立方的倒格子是体心立方。r ai（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：r a?r a3a, r2( ia.r2(ia J2(i由倒格子基矢的定义:ra3)而2a3)同理可得:rb2r (ia(iark)r k)r k)a21a21a21r k)a21a21a21，a
3、22r a3r j,r r(j k)即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 rj）所以，体心立方的倒格子是面心立方。v v v、证明倒格子矢量GAbh2b2vh3b3垂直于密勒指数为（h|h2h3）的晶面系。证明:(7A.uuu 因为CAvahia uuu,CB h3va2h2h3v v v h1blh2b2hsb3,E v v利用Xi bjvGivG.uurCAuuuCB所以，倒格子矢量h2b2 h3b3垂直于密勒指数为（h|h2h3）的晶面系。、对于简单立方晶格，证明密勒指数为（h, k,l）的晶面系，面间距 d满足：d2a2/(h2 k2 l2),其中a为立方边长；并说明面指数
4、简单的晶面，其面密度较大，容易解理解：简单立方晶格：air a2raa，vair vai , a2vaj,vaav akr由倒格子基矢的定义：b1ra2trai a2r aa -raaraatr-ai a2r ai -r-aar r aia22 trnai a2 aav倒格子基矢：b1v倒格子矢量：G2 vi , av hgvb2v j,vbaa2 via,2 v kja晶面族（hkl）的面间距:i(h)2 (k)2 (l)2a a a面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越 容易解理。第二章固体结合、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（
5、21n2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N o解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有(i)iiii21- -rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2,马德隆常数为2iQl n(i x)i i a 42 a 4x x xx 一 一 一x a 4, -一 i i i当X=i时，有i 1n22 a 42ln2、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)试求：（i）平衡间距r0 ；（2
6、）结合能 W （单个原子的）；（a）体弹性模量;的值(4)若取 m 2,n i0,r0 aA,W 4eV，计算解：（i）求平衡间距ro由dudr0,有:r r0结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称 为结合能（用w表不）（2）求结合能 w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基 团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时,晶体的势能，即U min即：WU（r。）m r0n rO（可代入r0值，也可不代入）（3）体弹性模量由体弹性模量公式:2rO9V02U2rr。r。3A,w = 4eV
7、，求 a、0r。10 182U(r。)5 r024eV将r03A, 1eV1.602 1019 . 一一19 J代入详解：（1）平衡间距r0的计算晶体内能U （r）平衡条件dUdr r0(2)0,nn 1r00 ， r01(J产m单个原子的结合能1 ，、，、 二u(r), u(r0)2，r0r0(3)体弹性模量2UK(儿 V0晶体的体积V3NAr为原胞数目晶体内能U （r）由平衡条件UVV V0N / m 2K 乙r0nn rOm0,得r0nn r02UV2V0mn9V022)体弹性模量K(4)若取m 2, n10, r。3A,W 4 eV/ nr0(m1严，w(1W 10 一r0 ,2r0
8、0rO2W-95101.2 10 eV m ,9.0 10 19 eV第三章固格振动与晶体的热学性质、讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N个格波解，当 M = m时与一维单原子链的结果对应。解：质量为M的原子位于2n-1 , 2n+1 ,2n+3质量为m的原子位于2n, 2n+2 , 2n+4牛顿运动方程m&2n(2 2n(2 2n2n 11 2n2n 1)2 2n)N个原胞，有2N个独立的方程设方程的解2ni tAe(2na)q2n 1Beit (2 n 1)aq代回方程中得到A、B有非零解,2 cosaqcosacM 20,则两种不同的格波的色散关系(m M)mM1.14
9、mM . 212i2sin aq2(m M )2(m M)mM14mM . 22.12 sin aq2(m M )一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波两种色散关系如图所示:长波极限懵况下q 0 ,.zqax qa sin()22(2与一维单原子晶格格波的色散关系一致.总的格波数目为 2N.和10 ，令两种原子质量相等，且最H2这2n-3 2n-l 2n+l 2n+3浅色标记的原子位于2n-1 , 2n+1 , 2n+3;深色标记原子位于2n, 2n+2 , 2n+4、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为近邻原子间距为 a/2 o试求在q 0,q/a处的 （q）,并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如样的双原子分子晶体。答：（1）第2n个原子和第2n+ 1个原子的运动方程:体系N个原胞，有2N个独立的方程方程的解:2n2n 1i tAeiBe1(2n)2aq1t (2n 1)严1 /m,2/m,将解代入上述方程得:A、B有非零的解，系数行列式满足:因为1、210 ,令 22c 210c1 ,2m m210 2得到两种色散关系：2 o(11 -20cosqa-101)当 q 0时，2 o（11 河），22 00当 q 一时，2 o（11 厢）， a20 02 0（2）色散关系图:
