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1、离散型随机变量解答题精选1. 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复， 试求下列事件的概率：(1) 第3次拨号才接通电话；(2) 拨号不超过3次而接通电话.解：设A, =第i次拨号接通电话，i = 1,2,3(1)第3次才接通电话可表示为AAa于是所求概率为P(aTA ) = -9x8x1 = -1;1 2 312310 9 810(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为：A + AA + AAA于是所求概率为 11 21 2 3P( A + AA + AAA ) = P( A ) + P( AA ) + P(AAA ) = X+9 1 9+ X + x x
2、.11 21 2 311 21 2 310 10 9 10 9 8 102. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相 互独立的，并且概率都是3.(1) 求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(2) 求这位司机在途中遇到红灯数号的期望和方差。解：(1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯， 所以 p = (1 - L)(1bx1=.33 3 27(2)易知& B(6,；).班=6 x1 = 2.庆一 6x 1 x (1 -1) = 433D6-6 x3x (1 3) = 3.3. 奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字
3、2，2个小球上标有数字5,现摇出3个小 球，规定所得奖金(元)为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期 望解：设此次摇奖的奖金数额为&元，当摇出的3个小球均标有数字2时，&= 6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，& =9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，& =12。所以,代=6) = C3 = 土p&= 9) = CC = -P(& =12) = CC2 = -1C 3 15 E ) C 3 15C 315101010771 39庞=6 x (一 + 9 x + 12 x =号 151515 5答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是39元4
4、. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9 , 数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中(I) 三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(II) 恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A, B,C ,则 P( A) = 0.9, P( B) = 0.8, P(C) = 0.85(I) P(A B C) = P(A) P(B) P(C)=1-P( A)1-P( B )1-P (C)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) =0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003(I)( P (A B C +
5、 A B C + A B C)=P (A B C) + P (A B C) + P (A B C)=P (A) P (B) P (C) + P (A) P (B) P (C) + P (A) P (B) P (C)=1-P( A)P (B) P(C) + P( A)1-P (B)P(C) + P (A) P (B )1-P (C)=(1-0.9) x 0.8 x 0.85 + 0.9 x (1-0.8) x 0.85 + 0.9 x 0.8 x (1-0.85)=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.3295. 如图，A,B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1
6、,2,2,3,4 .现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.(I) 设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x 6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；：(II) 求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.尸二Ta解：(I) 1 +1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 6,. P(x = 6) = 2 2 2 =-C 346. 1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 3 = 7,. P(x = 7)=-20 4一-，-，八31 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 = 8, P(x = 8)=20. 2 + 3 + 4 = 9,. P(x = 9)=20 10少1131
7、3P(x 6) = + +=4420 104一一八，1-3(II) .1 +1 + 2 = 4,P(x = 4) =,v1 +1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 5,P(x = 5)= 一1020.线路通过信息量的数学期望/13 1 “ 1 。3 八 1=4 x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 x + 9 x = 6.51020442010答：(I)线路信息畅通的概率是3.(II)线路通过信息量的数学期望是6.54一一一 . .1 3 36. 三个元件T,T ,T正常工作的概率分别为=,丁,；,将它们中某两个元件并联后再和第三 1 2 32 4 4元件串联接入电路.(I) 在如
8、图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？(II) 三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时 电路图，并说明理由.解：记“三个元件T,T ,T正常工作，分别为事件A , A2, A3，则(i)不发生故障的事件为(4+a3)r.国I图2123P(A ) = ；,P(A ) = 3,P(A ) = 3.122434.不发生故障的概率为P = P(A + A ) A = P(A + A ) - P(A )1上3 _1131=1 - p (A) - P( A) - p (A)2311 11】115=11 一一 X X =44232(II)如图，此时不发生故障的概率最大.证明如
9、下: 图1中发生故障事件为(R +气)A3.不发生故障概率为21P = P(A + A )A = P(A + A ) - P(A ) = 1 - P(A ) - P(A )P(A )=212312312332二 P2 P图2不发生故障事件为(A + A ) A，同理不发生故障概率为P = P P1323217. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1,而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：(1)其中至少有一件废品的概率；(2)其中至多有一件废品的概率.解：设事件A= 从甲机床抽得的一件是废品”；B= 从乙机床抽得的一件是废品”.则 P (A
10、) = 0.05, P( B) = 0.1(1) 至少有一件废品的概率P (A + B) = 1 - P (A + B) = 1 - P( A) - P (B)=1 - 0.95 x 0.90 = 0.145(2) 至多有一件废品的概率p = P( A - B + A - B + A - B)=0.05 x 0.9 + 0.95 x 0.1 + 0.95 x 0.9 = 0.9958. 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的 概率为0.92 ,(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数&的数学期望和 方差解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记
11、为A,B.设甲独立解出此题的概率为匕，乙为P2.则 P( A) = p = 0.6, P( B) = PP(A + B) = 1 - P(A - B) = 1 - (1-P )(1-P) = P + P - PP = 0.92121212. 0.6 + P - 0.6P = 0.9222贝则0.4 P = 0.32 即 P = 0.8(2) P(& = 0) = P( A) - P( B) = 0.4 x 0.2 = 0.08P (& = 1) = P (A) P( B) + P (A) P( B) = 0.6 x 0.2 + 0.4 x 0.8 = 0.44P (& = 2) = P (A)
12、 - P (B) = 0.6 x 0.8 = 0.48&的概率分布为：g012P0.080.440.48庞=0 x 0.08 +1 x 0.44 + 2 x 0.48 = 0.44 + 0.96 = 1.4Dg= (0 -1.4)2 0.08 + (1 -1.4)2 0.44 + (2 -1.4)2 0.48=0.1568 + 0.0704 + 0.1728 = 0.4或利用 D& = E (& 2)- (E& )2 = 2.36 -1.96 = 0.49. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元.设在 一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之
13、十，公司应要求顾客交 多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以&表示公司每年的收益额，则&是一个 随机变量，其分布列为： gxx - aP1 - pp因此，公司每年收益的期望值为E& = x(1- p) + (x- a)p = x - ap .为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E& = 0.1a，即x-ap = 0.1a， 故可得 x = a( p + 0.1).即顾客交的保险金为a(p + 0.1)时，可使公司期望获益0.1a .10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出 厂.已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率
14、都是0.2 .(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).解：(1)这批食品不能出厂的概率是：P = 1 - 0.85 - C1 x 0.84 x 0.2 0.263 .(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P = C1 x 0.2 x 0.83 x 0.814五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P = C1 x 0.2 x 0.83 x 0.2由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批 产品是否出厂的概率是：P = p + P = C; x 0.2 x 0.83 = 0.4096 .11. 高三(1 )班、高三(2)班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛.比赛 规则是：按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名队员至少参加一 盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为；.(I) 根据比赛规则，高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？(II) 高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少？解：(I)参加单打的队员有告种方法.参加双
