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1、【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第7篇 第2节 空间几何体的表面积与体积课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积3、4、13、17空间几何体的体积1、2、9、10、11、13、15、17与球有关的面积、体积问题5、6、7、14折叠与展开问题8、12、16基础过关一、选择题1.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为(B)(A)4(B)8(C)16(D)20解析:由三视图知,此几何体是一个三棱锥,底面为一边长为6,高为2的三角形,三棱锥的高为4,所以体积为V=624=8.故选B.2.(2015黄冈中学月考)某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体
2、的体积为(C)(A)48(B)56(C)64(D)72解析:该组合体由两个棱柱组成,上面的棱柱体积为245=40,下面的棱柱体积为461=24,故组合体的体积为64.故选C.3.(2014泸州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为(C)(A)+(B)+(C)+(D)+解析:由三视图知该几何体为四棱锥,如图所示.其中PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PA=1,正方形的边长为,RtPAB中,PB=,RtPAC中,PC=,因此PBBC,PDCD.因此S侧=21+2=+.故选C.4.(2014宁夏银川模拟)如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯
3、视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的表面积为(A)(A)2+3+4(B)2+2+4(C)8+5+2(D)6+3+2解析:由三视图可知,该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的组合体,该几何体的表面积S=21+4+2（+1）=3+4+2.故选A.5.已知三棱锥OABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,ABC=120,三棱锥OABC的体积为,则球O的表面积是(A)(A)64(B)16(C)(D)544解析:ABC的面积是,由余弦定理得AC=.设球心O到平面ABC的距离为h,则h=,所以h=.ABC外接圆的直径2r=2,所以r=1.球的半径R=4,故所求的球O的
4、表面积是442=64.故选A.6.(2014山东省师大附中模拟)正六棱柱(底面为正六边形,侧棱垂直于底面的棱柱)的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为(C)(A)20(B)25(C)100(D)200解析:由正六棱柱的特征知正六棱柱最长的对角线即为外接球的直径,因为底面边长为4,所以外接球直径为=10,所以外接球的表面积为4R2=425=100.故选C.7.(2013江西南昌一模)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(C) (A)(B)2(C)(D)3解析:所作的截面与OE垂直时,截
5、面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a,则4a2+1=4,即a=,此时OE2=12+=,截面圆半径r2=22-=,故截面面积为.故选C.二、填空题8.有一根长为3 cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3 cm,AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=5(cm),故铁丝的最短长度为5 cm.答案:59. (2013高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中
6、,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1V2=.解析:=.答案:12410.(2013高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.解析:由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥,如图所示.三棱柱的底面为直角三角形,且直角边长分别为3和4,三棱柱的高为5,故其体积V1=345=30(cm3),小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同,高为3,故其体积V2=343=6(cm3),所以所求几何体的体积为30-6=24(cm3).答案:2411.(2013高考辽宁卷)某几何体的三
7、视图如图所示,则该几何体的体积是.解析:由三视图画出其直观图,如图所示,知几何体为圆柱挖去一个正四棱柱,则该几何体体积为V=422-224=16-16.答案:16-16三、解答题12. 如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=rl+r2=10,h=,V=r2h=.13.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.解:(1)直观图如
8、图所示.(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,在直角梯形AA1B1B中,作BEA1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,AA1=BE=1,在RtBEB1中,BE=1,EB1=1,BB1=,几何体的表面积S=S正方形ABCD+2+=1+21+2(1+2)1+1+1=(7+)(m2).几何体的体积V=121=(m3),该几何体的表面积为(7+)m2,体积为 m3.能力提升14.(2014云南昆明模拟)若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SA平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,BAC=60,则球O的表面积
9、为.解析:因为AB=1,AC=2,BAC=60,所以BC2=1+22-212cos 60=3,所以BC=.所以ABC=90,即ABC为直角三角形.因为三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,且SA平面ABC,于是SC为球O的直径.RtSAC中,SA=2,AC=2,所以SC=4.球的表面积为4（）2=16.答案:1615. (2014广东东莞模拟)如图,三棱锥PABC的高PO=8,AC=BC=3,ACB=30,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,则三棱锥NAMC的体积V在x(0,3上的最大体积是.解析:=SAMCNO=ACCMsin 30(PO-PN)=3x(8-2x)=(4x
10、-x2)=2-(x-2)2,因为x(0,3,所以三棱锥NAMC的最大体积是2.答案:216.如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD=CD=2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)求证:BC平面ACD;(2)求几何体DABC的体积.(1)证明:在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故ACBC,取AC的中点O,连接DO,则DOAC,又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,DO平面ADC,从而DO平面ABC,DOBC,又ACBC,ACDO=O,BC平面ACD.(2)解:由(1)可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2,SACD=2,=SACDBC=22=.探究创新17. (2014绍兴模拟)已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,则这个正四面体的表面积为,体积为.解析:由题意知正四面体的直观图如图EACF补成正方体如图.正方体棱长为2,知正四面体的棱长为2,正四面体表面积为(2)24=8.点E到平面ACF的距离为=.正四面体的体积为(2)2=.答案:8
