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1、离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念， 会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1. 定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称 Ex1 p1x2 p2xn pn 为的均值或数学期望，简称期望要点诠释：（ 1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（ 2 ）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令
2、p1 p2pn ，则有 p1p2 1， E( x1x2 xn )1pn，所以的数学期望又称为平均数、均值。nn（ 3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2性质： E()EE ；若ab (a 、 b 是常数 ) ，是随机变量，则也是随机变量，有E( ab) aEb ；E(ab)aEb 的推导过程如下：的分布列为P于是 E( ax1b) p1( ax2 b) p2(axib) pi a( x1 p1x2 p2 xi pi )b( p1p2 pi ) aE b E(ab)aEb 。要点二 ：离散型随机变量的方差与标准差1. 一组数据的方差的概念：已知一组数据 x1 ， x2 ， xn ，它们
3、的平均值为 x ，那么各数据与 x 的差的平方的平均数 S2 1 ( x1 x ) 2 (x2 x )2 ( xn x ) 2 叫做这组数据的方差。n2. 离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称 D ( x1E ) 2p1 ( x2E ) 2p2 (xnE )2pi 称为随机变量的方差， 式中的 E是随机变量的期望D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近
4、平均值） 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3. 期望和方差的关系：4. 方差的性质：若ab (a 、b 是常数 ) ，是随机变量，则也是随机变量，DD ( ab)a2 D；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p 的二点分布，则期望 Ep方差 Dp(1p).证明： P(0)q , P(1)p , 0p1, pq1 E0q1pp2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为 n, p 的二项分布，即 B(n， P), 则期望 EnP方差 Dnp(1- p)期望公式证明： P(k ) C nk pk (1 p)n kCnk p k qn k ，
5、 E0Cn0 p0qn1Cn1 p1qn 12 Cn2 p2qn 2.k C nk pkqn k. n Cnn pn q 0，又 kC nkkn!(kn (n 1)!1)!nCnk11 ，k!( nk)!1)!( n 1) (k Enp( Cn0 1 p0 qn 1 C n1 1 p1 qn 2 Cnk 11 p k 1 q (n 1) ( k 1) Cnn 11 p n 1q 0 )np( pq) n 1np 3、几何分布 ：独立重复试验中，若事件 A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件 A 第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且P(k )(1p) k 1 p ， k0,1,2,3,
6、L , n,L，称离散型随机变量服从几何分布，记作： P(k)g(k， P) 。若离散型随机变量服从几何分布，且 P(k)g(k，P)，则期望E1.p1- p方差 Dp2要点诠释： 随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为N , M , n 的超几何分布，则nM期望E( )N要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；P根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：D .注意：常见分布列的期望和方差，不必写出
7、分布列，直接用公式计算即可2. 离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量1和2 ，当需要了解他们的平均水平时，可比较E 1 和 E 2 的大小。 E1 和 E2 相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D 1 和 D 2 ，方差值大时，则表明比较离散，反之，则表明比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】类型一、离散型随机变量的期
8、望例 1 某射手射击所得环数 的分布列如下：78910Px0.10.3y已知 的期望 E 8.9 ，则 y 的值为 _【思路点拨】分布列中含有字母x、 y, 应先根据分布列的性质，求出x、 y 的值，再利用期望的定义求解；【解析】 x 0.1 0.3 y 1，即 x y0.6. 又 7x 0.8 2.7 10y 8.9 ，化简得7x10y 5.4. 由联立解得x 0.2 ， y 0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式 1】某一离散型随机变量的概率分布如下，且E（） =1.5 ，则 ab 为（）0123P0.1ab0.1
9、A 0.1B 0C0.1D0.2【答案】 B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1 ， a+b=0.8 又 E（） =0 0.1+1 a+2 b+3 0.1=1.5 ，即 a+2b=1.2 解得 a=0.4 ， b=0.4 ， a b=0【变式 2】随机变量 的分布列为024P0.40.30.3，则 E(5 4) 等于 ()A 13B11C2.2D 2.3【答案】 A由已知得：E() 00.4 20.3 40.3 1.8 ， E(5 4) 5E() 451.8 4 13.【变式 3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5 元，销售价每束5 元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前
10、五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花 500 束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15A.706 元B 690 元C 754 元D 720 元【答案】 A节日期间预售的量：E 2000.2 3000.35 4000.3 5000.15 40 105 120 75 340( 束 ) ，则期望的利润： 5 1.6(500 ) 5002.5 3.4 450，E 3.4E 4503.4 340 450 706.期望利润为706 元【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且 P(k)akb（ k1,2,3,4），E3 ，则 ab；【答案】0.1 ；由分布列的概率和为1，有 (ab)(2 ab)(3ab)(4 ab)1 ，又 E3 ，即 1 ( ab)2 (2ab)3 (3 ab)4 (4 ab)3 ，解得a0.1， b0 ，故ab0.1。例2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得 100 分假设这名同学回答正确的概率均为0.8 ，
