高斯定理的简单应用

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1、高斯定理的简单应用摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而 且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程高斯定理是物理学中电学部分的重要定理 之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆 柱体、球面、球体等的电场的计算.如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用 技巧。关键词：高斯定理；应用；重要定理引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定 理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。 虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更 好

2、的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。1高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，若函数P,Q,R在V上连续，(dP dQ dR)+dxdydz !V且有一阶连续函数偏导数，则dxdydz = jj Pdydz + Qdzdx + RdxdySO其中S的方向为外发向。1-1式称为高斯公式1】1.2静电场的高斯定理一半径为r的球面S包围一位于球心的点电荷q，在这个球面上，场强E的方向处处垂直于球面，且E的大小相等，都是E = 。通过这个球面S的电通量为 4双r 20e =jj E, dS = jj -dS =jj dS = q -

3、 4 兀 r2=里e4兀8 r 24兀8 r 24兀8 r 2 sSSoo soo其中H dS是球面积分，等于4k r2。从此例中可以看出，通过球面S的电通量只与 S其中的电量g有关，与高斯面的半径r无关。若将球面S变为任意闭合曲面，由电场 O线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。若闭合曲面S内是负电荷-q，则F的方向处处与面元d S取相反，可计算穿过S 面的电通量为-q/%。若电荷-q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S 面，通过S面的电通量为零。1.3磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲 面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。

4、如果对于一个闭合曲面，定义向外为正 法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一 个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示：上 BdS = 0s与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然 界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负 电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然 界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合 线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场。2静电场和磁场中高斯定理

5、的简述2.1静电场的高斯定理静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a) 点电荷在球面中心，点电荷q的电场强度为E =项厂 土了球面的电通量为oJ Ed S = ff 4 了 dS = dS = 4- 4兀r 2 =2 1ssoo soo(b) 点电荷在任意闭曲面外，闭曲面S的通量为jj Ed S = i-1-S d S = - jjL (xdydz + ydxdz + zdxdy) 4ksr 34ksr 3soo s-xdydz + ydxdz + zdxdy4ksr 3r 3r 3os如半峰+籍1(dx dy dzV2-2dxdydz = jj (Pdydz + Qdzdx + Rdx

6、dy )根据高斯公式S2-3并考虑到_x _ yz在S内有连续一阶偏导数，故2-2式可2-2式代入2r 3 r 3 r 3-3式得=4监jj EdS = jj- q S d S4nsr 3sso jj (xdydz + ydxdz + zdxdy) 4nsr 3os- jj L xdydz + ydxdz + zdxdyr3r3r3sk r3jjjq4ns o Vdxdydz = 0s12-4根据上述(c) 点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辅助球面S1，其法向朝内，根据2-1 式可知点电荷q在闭曲面S + %的电通量为零，即：jj EdS+jj Ed S = 0ssjj

7、 Ed S = - jj Ed S = -jj Ed S = qso其中式2-4中S和S大小相等，法向相反。12(d) 点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为q,q2,-3q.;闭曲面外的点电荷为UEd &- d & = JE d & = q讨论可得 ss i-1 s o i-1 这就是静电场中的高斯定理32.2磁场的高斯定理磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a) 电流元Id /在球面中心由磁通量的定义和毕奥一萨法尔定律dB 工 -*七为了方便，把dH简写为 4兀r 2三，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为TJJ Bd S = 土 Id 1 x ro d S = y JJ ro

8、*dS d T4丸r 24丸r 2sss因为rS/d&，所以珀Bd S = 0os(b) 电流元Id S在任意闭曲面外电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为JJ&d S = JJ% Id Sx ro d S4丸r 2ss田 T q T ” 号 ” Hill T11因为 r = x i + y j + zk，并设dl = dlk，则 dlx r =-ydli + xdl j代入原式得根据高斯公式JJBdS=JJ% 也*1 dS =些 JJ (-2 dydz + 土 dxdz) 4兀r 24兀r 2r 2dP dQ dRV -JJJI + 室 + dxdydzI dxdydz /sss=JJ (Pd

9、ydz + Qdzdx + Rdxdy )S同理可得JJBdS =JJL 相xr dS = JJ(y dydz + xdxdz) = 04兀r 24 兀r 2r 2sss(c) 电流元Idl在任意闭曲面内以此类推，在闭曲面S内，以电流元为球心作一辅助球面S，因为JJ BdS +JJ BdS = 0所以SS（d）电流元Idl在闭曲面上由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即 jBd & = 0S这正是磁场的高斯定理4三、高斯定理在电场中的应用例题1设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为c =9.3X10-8C/m2，放置在真 空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下

10、判断：（1）电荷均匀分布在均匀带电无限大平面 上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线， 因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上（如果带负电荷，电场方向相反）， 其他方向上的电场相互抵消；（2）在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；（3） 带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点A的场强，在左取它的对称点B，以AB为轴线作一圆柱，如图 -3所示.对圆柱表面用高斯定理，图-3e = j e - ds=e+ 8ese侧面e两个底面0e :=0e侧8一=2 ESe两个底面圆柱内的电荷量为z q =c S（4）把（2）、

11、（3）、（4）代入得E =二一 V/m=5.25X 103 V/m2e2 x 8.85 x 10 -12例题2设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为人=5.0X10M/m，放 置在真空中，求空间距直线1m处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：（1）电荷均匀分布在无限长块均匀直线上， 我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此 空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在（如果带负电荷，电场方向相反）， 其他方向上的电场相互抵消；（2）以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂 直于柱面（如图-4）.图-4根据场强的分布，我们以直线

12、为轴作长为l，半径为r的圆柱体.把圆柱体的表面作 为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：圆柱内的电荷量为e se侧面e两个底面 =S E = 2 兀 rlEe两个底面(1)(2)(3)(4)把（2）、（3）、（4）代入得5.0 x 10 -92赤 r 2 x 3.14 x 8.85 x 10-12 x 1V/m=89.96 V/m例题3设有一半径为A的均匀带正电球面，电荷为q，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：由于电荷均匀分布在球面上，因此，空间任一点P的的场强具有对称性，方向由球 心0到P的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E 的大小相等.根据场强的分布，我们

13、取一半径为尸且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示.若r R，高斯面S1在球壳外，对球面S1用高斯定理得Zq = q，故有E = -4兀 r 20由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷 所产生的场强相同.四、高斯定理在电场中的一般应用步骤:(1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布;(3) 找出电场在高斯面内的垂直面积S ；(4) 分析高斯面内的电荷量q（5）应用高斯定理求解（ =J E ds =（s内）. s8 0高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才

14、能比较方便应用高斯定理求出场强。步骤：1. 进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯 定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2. 根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：待求场强的场点应在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂、直，n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；、3. 计算电通量日:，E dS和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以 点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称