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1、p141第三章习题(一) 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 5. 由积分C 1/(z + 2) dz之值证明0, p (1 + 2 cosq)/(5 + 4cosq) dq = 0，其中C取单位圆周| z | = 1【解】因为1/(z + 2)在圆| z | 0，使得K(a, r1) = z C | | z - a | 0，使得K(a, r2) K(a, r1)，且| f(z) - f(a)| | f(a) | - | f(z) - f(a)| 0记U = z C | | z - f(a) | | f(a) | ，则U是一个不包含原点的单连通区域在沿射线L = z C | z
2、= - f(a) t，t 0 割开的复平面上，多值函数g(z) = ln z可分出多个连续单值分支，每个单值连续分支g(z)k在CL上都是解析的t 0，| - f(a) t - f(a) | = (t + 1) | f(a) | | f(a) |，故- f(a) t U所以U CL，即每个单值连续分支g(z)k在U上都是解析的因为当zK(a, r2)时，f(z)U，故复合函数g( f(z)k在上解析而Re(g( f(z)k) = ln | f(z) |，所以ln | f(z) |在K(a, r2)上是调和的由aD的任意性，知ln | f(z) |在D上是调和的【解2】用Caucht-Riema
3、nn方程直接验证因为f(z)也在区域D内解析，设f(z) = u + i v，则u, v也满足Cauchy-Riemann方程记w = ln | f(z) |，则w = (1/2) ln ( u 2 + v 2 )，wx = (ux u + vx v ) /( u 2 + v 2 )，wy = (uy u + vy v ) /( u 2 + v 2 )；wxx = (uxx u + ux2 + vxx v + vx2 )( u 2 + v 2 ) - 2(ux u + vx v )2)/( u 2 + v 2 )2；wyy = (uyy u + uy2 + vyy v + vy2 )( u 2
4、 + v 2 ) - 2(uy u + vy v )2)/( u 2 + v 2 )2；因为u, v都是调和函数，所以uxx u + uyy u = (uxx + uyy) u = 0，vxx v + vyy v = (vxx + vyy) v = 0；由于u, v满足Cauchy-Riemann方程，故ux2 = vy 2，vx 2 = uy2，ux vx + uy vy = 0，因此(ux u + vx v )2 + (uy u + vy v )2 = ux2 u 2+ vx 2v 2 + 2 ux u vx v + uy2 u 2+ vy 2v 2 + 2 uy u vy v = (ux
5、2 + vx2 )( u 2 + v 2 )；故wxx + wyy = (2(ux2 + vx2 )( u 2 + v 2 ) - 2(ux2 + vx2 )( u 2 + v 2 )/( u 2 + v 2 )2 = 0所以w为区域D内的调和函数初看此题，就是要验证这个函数满足Laplace方程因为解析函数的导数还是解析的，所以问题相当于证明ln | f(z) |是调和的，正如【解2】所做于是开始打字，打了两行之后，注意到ln | f(z) |是Ln f(z)的实部但Ln z不是单值函数，它也没有在整个C上的单值连续分支，【解1】前面的处理就是要解决这个问题p141第三章习题(二) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 1. 设函数f(z
