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1、.习题 一1略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件：1 A发生,B,C都不发生； 2 A与B发生,C不发生；3 A,B,C都发生； 4 A,B,C至少有一个发生；5 A,B,C都不发生； 6 A,B,C不都发生；7 A,B,C至多有2个发生； 8 A,B,C至少有2个发生.解1 A 2 AB 3 ABC4 ABC=CBABCACABABC= = BCACABCAB= ABBCCA=ABACBCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且PA=0.7,P=0.3,求P.解P=1-PAB=1-P-P=1-0.7-0.3=0.65.设
2、A,B是两事件,且PA=0.6,P=0.7,求：1 在什么条件下PAB取到最大值？2 在什么条件下PAB取到最小值？解1 当AB=A时,PAB取到最大值为0.6.2 当AB=时,PAB取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且PA=PB=1/4,PC=1/3且PAB=PBC=0,PAC=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.解 PABC=P+P+P-P-P-P+P=+-=7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少？解p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：1 求五个人的生日都在星期日的概率； 2 求五个人的生日都不在星期日的概率；3
3、 求五个人的生日不都在星期日的概率.解1 设A1=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故PA1=5 亦可用独立性求解,下同2 设A2=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故PA2=5 设A3=五个人的生日不都在星期日PA3=1-P=1-59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件nN.试求其中恰有m件mM正品记为A的概率.如果：1 n件是同时取出的；2 n件是无放回逐件取出的；3 n件是有放回逐件取出的.解1 PA= 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品
4、与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有种,从N-M件次品中取n-m件的排列数为种,故PA=由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成PA=可以看出,用第二种方法简便得多.3 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n-m次取得次品,每次都有N-M种取法,共有N-Mn-m种取法,故此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为,则取得m件正品的概率为11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个
5、部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？解设A=发生一个部件强度太弱13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.解 设Ai=恰有i个白球i=2,3,显然A2与A3互斥.故 14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求：1 两粒都发芽的概率；2 至少有一粒发芽的概率；3 恰有一粒发芽的概率.解设Ai=第i批种子中的一粒发芽,i=1,2 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.1 问正
6、好在第6次停止的概率；2 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.解1 16.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.解 设Ai=甲进i球,i=0,1,2,3,Bi=乙进i球,i=0,1,2,3,则.=0.3207617从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.解 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求：1 在下雨条件下下雪的概率；2 这天下雨或下雪的概率.解 设A=下雨,B=下雪.1 2 19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男
7、孩的概率小孩为男为女是等可能的.解 设A=其中一个为女孩,B=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率假设男人和女人各占人数的一半.解 设A=此人是男人,B=此人是色盲,则由贝叶斯公式21.两人约定上午9001000在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图解设两人到达时刻为x,y,则0x,y60.事件一人要等另一人半小时以上等价于|x-y|30.如图阴影部分所示.22.从0,1中随机地取两个数,求：1 两个数之和小于的概率；2 两个数
8、之积小于的概率.解 设两数为x,y,则0x,y1.1 x+y. xy=.23.设P=0.3,P=0.4,P=0.5,求PBA解 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.解 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式,有25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问：1考试及格的学生有多大可能是不努力学习的
9、人？2考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？解设A=被调查学生是努力学习的,则=被调查学生是不努力学习的.由题意知PA=0.8,P=0.2,又设B=被调查学生考试及格.由题意知PB|A=0.9,P|=0.9,故由贝叶斯公式知1即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少？解 设A=原发信息是A,则=原发信息是BC=收到信息是A,则=收
10、到信息是B由贝叶斯公式,得27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种解设Ai=箱中原有i个白球i=0,1,2,由题设条件知PAi=,i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.解 设A=产品确为合格品,B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得29.某保险公司把被保险人分为三类：谨慎的,一般的,冒失的.统计资料表
11、明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果谨慎的被保险人占20%,一般的占50%,冒失的占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是谨慎的的概率是多少？解 设A=该客户是谨慎的,B=该客户是一般的,C=该客户是冒失的,D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.解设Ai=第i道工序出次品i=1,2,3,4.31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小
12、于0.9?解设必须进行n次独立射击.即为 故 n11至少必须进行11次独立射击.32.证明：若PAB=P,则A,B相互独立.证 即亦即 因此 故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为,求将此密码破译出的概率.解 设Ai=第i人能破译i=1,2,3,则34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中,则飞机一定被击落,求：飞机被击落的概率.解设A=飞机被击落,Bi=恰有i人击中飞机,i=0,1,2,3由全概率公式,得=0.2+0.6+
13、0.40.50.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求：1 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.2 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.解1 36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：1 A=某指定的一层有两位乘客离开；2 B=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开；3 C=恰有两位乘客在同一层离开；4 D=至少有两位乘客在同一层离开.解 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.1 ,也可由6重贝努里模型：2 6个人在十层中任
