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1、以四上“数学广角”为例谈利用思维导图促进学生数学模型的建构能力浙江省湖州市长兴县第六小学韩孔亮 摘要：本文以人教版数学四年级上册 “数学广角”的四节课为例，结合本人的教学实践，探讨教学中学生出现的一系列问题，介绍了如何利用思维导图促进学生数学模型建构的尝试与感悟。四上“数学广角”知识的教学主要包含“烙饼问题”、“沏茶问题 ”“等候时间问题”“田忌赛马”四课时，优化统筹思想贯穿于教学的始终，学生能否熟练灵活地运用相关知识解决实际问题，较大程度上取决于数学思维的能力，因此，培养学生的数学模型建构非常重要。如何针对这一单元有效的利用思维导图帮助学生数学模型的建构是本人一直想深入的进行研究。关键词：
2、思维导图，数学模型 ，模型建构 一、对于四上数学广角教学中教与学的现状分析（一）学生的学情现状透析在学生学习四上数学广角的时候，表现出了对这一单元十分的感兴趣，特别是比较聪明的学生的情绪高涨，而对于智力中下的学生因为这块内容跟生活联系较紧密，虽然有一定的兴趣，但思维难度大，要让他深入的进行思考和叙述有一定的难度。为了想要了解他们是否真正对于这四课时的内容达到理解和掌握，我特意对学生进行的调查，对于教学中老师出现过的例题学生还是大部分能够做对的，而教学中没有出现过的例题有77%的学生出现了错误。 学生为什么会出现的错误率这么高呢？对于出现这样的结果，我进行深入访谈学生，发现学生在每课时学习的这些
3、环节出现了问题。1.烙饼问题教学后，对于3张饼的特殊烙法，学生不仅能够知道最少只要烙3次，而且能够动手摆给我看，是怎么具体操作的过程。问其方法学生知道这是最省时间的烙法，而深问其原因就回答不出时间具体节省在哪里。2.沏茶问题学习之后，学生的能够对于简单的单线性生活问题进行解决，而单线中的超过时间有一定的困惑，对于要有双线性交叉进行的问题难度较大。3.等候时间问题后，一部分学生能够脱离表格进行计算等候时间，小部分学生能够在填写表格后进行计算，有小部分学生更不知道如何进行填表和计算，而是利用老师给出的模式进行套公式计算。4.田忌赛马问题教学后学生对于如何进行安排和有几种安排的方法有了一定的对策基础
4、，但是学生问什么这么安排和其它的5种安排为什么不能赢的原因和共性表达不清。学生这么多的情况出现，说明了数学在学习这块知识时的数学模型建构的不是很牢固，或者是仍旧模糊不清，我们应该怎样有效的帮助学生建构数学思维模型呢？（二）对于教学中帮助学生建立数学模型的思考在四上数学广角的教学中，我们注意培养了学生的数学思维的能力发展，并注重了数学模型的建立，但我们是否过于强调的数学模型的构建，而忽视了什么呢？而我们过快的建模，忽视原因的深度剖析而导致学生“知其然，却不知其所以然”。事不避难，知难不难，问题的源头在课堂，回归课堂，深思慎教。我查看数学课标和教学多方面的杂志，新课标都说到小学四年级数学广角中主要
5、以培养学生的数学思维模型，这不仅符合小学生思维占优，思维活跃，跳跃性强的特点，更为学生的终身认知打下基础。思维导图是一个简单、有效、美丽的思维工具，它依据全脑的概念，按照大脑自身的规律进行思考，全面调动左脑的逻辑、顺序、条例、文字、数字以及右脑的图像、想象、颜色、空间、整体思维，使大脑潜能得到最充分的开发，从而极大地发掘人的记忆、创造、身体、语言、精神、社交等各方面的潜能。于是我想到了利用思维导图来帮助学生在在这一单元有效的建立数学模型思想。找到了方向，但问题也随之而来，如何分别在这个单元的各个课时中落实和实施呢？由此产生了以下几点思考。思考1.烙饼问题3张饼特殊烙法教学中，如何利用思维导图让
6、学生知道时间到底节省在哪？思考2.沏茶问题教学中，如何发挥思维导图的最大有效性吗？经历数学模型的形成过程？思考3.等候时间问题中，如何利用思维导图帮助学生建立数学模型和思维方式？降低模型建构的起点？思考4.田忌赛马中，如何利用思维导图帮助学生找到其它5中安排为什么不能获胜的原因和深入数学模型的内涵进行提升？二、在四上数学广角教学中对思维导图有效应用的实践与研究（一）利用思维导图让学生触摸问题的本质在烙饼问题这堂课中，教师让学生解决了“3 张饼”的最佳烙法这个问题后，教师再次提出时间到底节省在哪里？学生对于这个问题大多数的回答是次数的减少就时间节省了，很多老师在教学时也觉得问到了这一步就是抓住了
7、问题的本质，那么是怎样的本质呢？如果从下图这样的思维导图中学生能对于次数的多少中看出时间的减少是比较容易的，但对于真正时间减少的原因我觉得应该用形象的空间思维导图中让学生进行分析和对比，就能不仅让学生从次数的维度上进行考虑，而且能够更直观的从空间的维度进行更深一步的挖掘本质。数学的本质，不仅仅是知识点的学习和掌握，寻求合理简洁的运算途径解决问题的过程，而要学生的思维在比较中逐步走向深刻，经历了从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型，更重要的是渗透在学习过程中的诸如列表、画图等的思维导图让学生的模型思想进行有效建构。所以在在设计3张饼特殊烙法的教学时我利用学生已经形成的直观的思维导图（上图），
8、这样学生能够从视觉的上更加理解时间真正减少的原因是空间上的充分利用，这才是时间节省的真正本质。以点带面，培养学生的数学思维能力，应贯穿在整个数学学习过程中。烙饼问题，要抓住一个“中心点”和两个“基本点”。 一个“中心点”是 3 个饼的烙法：只要我们抓住这个“点”，让学生理解了 3个饼的最佳烙法，并让学生真正触摸到问题的本质就是时间到底节省在哪里。 两个“基本点”是 双数张饼和 单数张饼的不同安排方法。学生知道4张饼可以 2 个 2 个地烙，由类推出烙双数个饼时，只要像个饼一样，可以 2 个 2 个地烙最节省时间。 由 5 个饼的烙法，类推出烙单数个饼时，一定要安排3张饼的特殊烙法，这样的安排最
9、节省时间。这时应利用表格式的思维导图帮助学生巩固数学模型的建构（下图），由点到面的教学，不仅节省了教学时间和提高了教学效率，同时也培养了学生的推理能力和数学模型的建构。（二）利用思维导图让学生经历数学模型建构的过程沏茶问题教学设计所倡导的教学理念凸显了课程标准中要求让学生通过“经历”和“体验”数学思想和模型建构的形成过程，因为具体可操作性强可以清楚地了解学生通过什么活动、什么方式获得知识技能及思想方法。本节课以学生平时帮家里做家务,有一定的生活经验作为教学的起点,把学生熟悉的“沏茶”作引例,通过自己设计沏茶活动的时间,再通过与同学交流,便学生初步体会不仅要考虑事情的安排顺序还要考虑可以“同时做
10、”这两个思维的角度。先出示4道工序，让学生摆出沏茶的流程图，初步让学生感受事情的先后顺序和同时做的方法优化思想，体会到同时做事情可以节省时间。接水、烧水 ( 烧水的过程中可以找茶叶洗茶杯)、沏茶, 感受要有序的同时考虑同时做。在此基础上教师再次分别出示喝茶和洗茶杯各一分钟，让工序增加到5步，分别让学生讨论自己是怎么安排的。进行观察和比较“为什么同样增加一件事情，一种方案的时间不变，而另一种方案的时间变了呢？通过观察比较，进一步让学生体会事情发展的顺序和同时做的两种思维角度的不同，所以时间也会随着不同。又再一次通过纵向的比较分析，让学生进一步明白同时可以完成的事情越多，那么越节省时间的道理。学生
11、在学习活动中不仅用自己的脑子思考怎样安排,而且要知道这样安排的原因,并动手画流程图等,学生在设计的过程中自然地涌现出很多新奇的想法,通过自我经历,自觉生成,自我发现,进一步体验和经历到怎样叫做合理安排,体验运筹思想在日常生活中的应用，并建构出直观的数学模型流程图。在学生具备了一定的知识和方法的基础上,出示综合应用题：妈妈下班回家做家务，淘米3分钟，煮饭15分钟，烧水10分钟，洗拖把2分钟，拖地8分钟，如果只有一个炉子，妈妈做好家务至少要多少间？给学生创设了一个尝试、应用的空间,在学生参与小组商议、探讨节省时间的最佳方案的过程中感悟到合理安排时间做事,不仅要考虑节省时间,感受双线型的思维导图。这
12、个环节既是对前面学习的巩固,又引发了学生新的思考，具有双线型的生活问题让学生经历这个数学建模的过程。带给学生的是探索的体验、创新的尝试、实践的机会和发现的能力的培养。（三）利用思维导图帮助学生降低数学模型建构的起点排队问题这一课就教材的编写意图而言, 是让学生列举出不同的卸货顺序, 然后通过比较提出优化的策略, 其探求的是按怎样的顺序卸货和怎样计算等候时间。有些教师纠结于是否把自己卸货等待的时间算在等候的时间总和里，我觉得对此争论没有必要。下面两表是对6种不同的卸货方案按两种不同的理解得到的结果。表一是把自己船卸货的时间计入等候时间,表二是不把自己船卸货的时间计入等候时间。将自己船卸货的时间计
13、入与不计入等候时间都相差 13 小时, 对于寻求最优顺序并无影响, 所以我认为对本船卸货所用的时间是否计入等候时间总和的争论没有必要。而对于怎样帮助学生理解和发展数学思维的能力？怎样有效的利用思维导图帮助学生更直观和形象的建立数学思维模型更具有研究价值。教材上出现的只是一副主题图，我们老师在教学时都想到了利用表格式的思维导图来帮助学生进行模型的建构。我在第一次试教中就是固定式的表格导图，如上表第一行的格子里甲船乙船丙船次序不变，学生初次填写难度较大，因为在这个表格导图中学生要先寻找对应的格子然后才能填写数据，思维较慢的学生更加无从下手。填写好后对于表格的分析和讨论，学生更不更直观的建立数学模型
14、。那么能不能设计一个填写难度较低的表格不仅便于学生进行填写，还有助于观察数据和分析总结呢？于是在第2次的试教中，我又重新设计了一份表格，第一行设计为“依次等候时间”，教学效果得到了明显的提高。对于表格这样的改变，虽然学生的填写正确率提高很多，也更便于数据的观察和分析，但总是觉得没有将学生的思维进行充分的暴露，不能将学生思维模型建立的突破口极限于表格导图上。因为思维导图的形式多种多样，于是我想到了利用图示加数字的形式先让学生独立填写再分析比较进行了第3次试教，这种图示加数字的形式将填写难度降低的同时并没有降低思维的层度。 学生对于这种思维导图的形式虽然便于理解，而且不知不觉中帮助学生建构了数学模
15、型，形成了自己的解题思路和作图方法，因为这种形式学生觉得比表格容易操作和理解。在计算时学生虽然出现了两种方法8342118（84）（841），但是对于第二中方法的计算，有许多学生不理解算式的意义，原因在于学生习惯于横向思考，竖的看数字在思维习惯上形成一定的难度，基于对学生的思维习惯分析，进行对思维导图方向上的改变，进行了第4次试教。数学不仅很好的降低了建构数学的思维模型的起点，对于两种计算方法也自然的进行了很好的沟通和理解，并从思维导图中，找到了数学的本质问题，为什么方法6等候的时间最少。（四）利用思维导图帮助学生数学模型建构的提升数学广角“田忌赛马”这个故事具有典型性，能让学生感受到统筹优化数学思想方法的深刻魅力，并能帮助学生建立良好的数学思维模型，为此要让学生经历“感知理解策略深入感悟模型运用提升模型”的过程，体会“数学思想方法”的重要性，并在活动过程中探究唯一“取胜”的最佳方法和其它5种方法为什么不能取胜，培养了学生的策略意识与解决问题的能力。联系实际生活运用等方面入手，引导学生去体验先让学生在合作小组里，把田忌所有(不能重复与遗漏)采用的策略进行填表。充分让学生感受理解对马的出场顺序有6中，而只有一种方法是能够取胜的，让学生充分讨论这种方法具体是怎么安排的，并
