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1、一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y其有效数字的位数为 。3.对f(x)=x3+x+1,差商f0,1,2,3= ;f0,1,2,3,4= 。4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。5.设方程x=j(x)有根x*,且设j(x)在含x*的区间(a,b)内可导，设x0(a,b)则迭代格式xk+1=j(xk)收敛的充要条件为 。6.求解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Jx(k)+f收敛的充要条件为 。7.,|A|= ,cond(A)= 。8.n次L
2、egendre多项式的最高次项系数为 。9.中矩形公式：的代数精度为 。10.求积公式：的代数精度为 。11.在区间1，2上满足插值条件的一次多项式P(x)= 。12.设是函数f(x)在区间a,b上的插值型型求积公式，则= 。13.已知x*1=x10.5103，x*2=x20.5102，那么近似值x1，x2之差的误差限是 14 用列主元消去法解线性方程组AXb时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元，使得 .15. 已知函数f(0.4)=0.411, f(0.5)=0.578 , f(0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2的系数是 .16. 牛顿科茨求积公式
3、中的科茨系数满足的两条性质是 .17.用牛顿法求方程f(x)=0在a,b内的根，已知f(x)在a,b内不为0，f(x)在a,b内不变号，那么选择初始值x0满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f(x)=0的根. 18梯形公式和改进的Euler公式都是 阶精度的。19.对于一元二次方程,如果具有5位有效数字,求其具有5位有效数字的根 .20.用二分法求解方程在区间上的根，要求得到具有3位有效数字的近似根，需作 次二分。二、选择题1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x0.0a1a2an10s(a10)的绝对误差x*x( )(A) 0.510 s1t (B) 0.510 st (C) 0.
4、510s1t (D) 0.510 st2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )(A) ， (B) (C) (D) 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 4. 等距二点的求导公式是( )(A) (B) (C) (D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp,yc分别为( )(A) (B) (C) (D) 6. 若误差限为0.5105，那么近似数0.003400有( )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 67. 当线性方程组AXb的系数矩阵A是( )时，用列主元消去法解AXb，A
5、的主对角线的元素一定是主元.(A) 上三角形矩阵 (B) 主对角线元素不为0的矩阵 (C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵8. 下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件为( ) (A) P(xk)=yk,(k=0,1,n) (B) P(x)在a,b上连续 (C) P(x)在各子区间上是线性函数 (D) P(x)在各节点处可导9. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的. (A) 5(B) 6(C) 7(D) 310. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O(h3). (A) 欧拉法(B)改进欧拉法(C)三阶龙格库塔法(D) 四阶龙格库塔法11.数
6、值x*的近似值x=0.1215102，若满足( )，则称x有4位有效数字. (A) 103 (B) 104 (C) 105 (D) 10612. 设矩阵A，那么以A为系数矩阵的线性方程组AXb的雅可比迭代矩阵为( )(A) (B) (C) (D) 13. 已知y=f(x)的均差f(x0,x1,x2)=，f(x1,x2,x3)=，f(x2,x3,x4)=，f(x0,x2,x3)=,那么均差f(x4,x2,x3)=( )(A) (B) (C) (D) 14. 已知n=4时牛顿科茨求积公式的科茨系数那么( )15.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) exx10，1,1.
7、5，令xk+1= (B) x3x21=0，1.4,1.5, 令(C) x3x21=0，1.4,1.5, 令(D) 42x=x，1,2, 令三、计算题1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组2.设有函数值表x134679y976431 试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。3.求解超定方程组的最小二乘解。4.给定下列函数值表： i0123xi3468yi602-1 求3次自然样条插值函数5.给定在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的二次（抛物）插值公式，利用插值公式求的近似值并估计误差。6.试分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组 的
8、第k次迭代公式，并讨论它们的收敛性。7.利用积分计算ln4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点 才能使其误差绝对值不超过。8.建立计算的Gauss求积公式，使其具有3次代数精度。9.应用Newton法导出方程f(x)=x2-a=0的根的迭代格式，并求。10.设f(x)=ex,x0,1。求f(x)的二次最佳平方逼近多项式11.求拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线方程。12用Euler预测-校正格式求解初值问题在0.3，0.4处的数值解。要求写出格式，步长h=0.3，小数点后至少保留5位数字。13利用Euler公式计算积分在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。14试分别写出
9、用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组 的第k次迭代公式，并讨论它们的收敛性。15用简单迭代法求解的所有实根，精确至3位有效数。16试用Gauss消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：（写出详细过程！）例17 求积公式 +已知其余项的表达式为=，.试确定系数，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数.解： 当=1时，=1 +=1当=时，= +=当=时，= =代入求得：=，=，=，从而 +，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取当=时，=，而+=说明当=时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度.下面考虑余项
10、，设 =+将=代入，得到 =+3！ =，即余项为=，.例18 设给定数据x11.502f(x)1.502.501.005.50(1) 作出函数f(x)的均差表；(2) 写出牛顿3次插值多项式.解：（1） 011.521.00 =0.50 =1.00 =1.501.50 =2.00 =4.002.50 =6.005.50（2）=1+ =1+19、计算积分，若用复化梯形公式，问区间应分成多少等份，才能使其截断误差不超过20、已知方程组，验证Jacobi方法和Gauss-Seidel方法的敛散性。21. 用牛顿法解方程在x=0.5附近的近似根. 要求0.001. 计算过程保留5位小数. 22.取h=
11、0.1, 用改进欧拉法预报校正公式求初值问题在x=0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数.22求函数在上的一次最佳逼近多项式23.求使得达到最小四、证明题1.证明1-2x-sinx=0在0,1内有唯一根。使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？2.证明：证明方程在(0，1)内有唯一根x*。并证明迭代格式：是收敛的。3.给定方程组试证明Jacobi迭代法收敛的充要条件为4.设f(x)C2a,b,且f(a)=f(b)=0,求证：。5.设ARnn,证明当r(A)1时，矩阵序列Sk=I+A+Ak (k=0,1,2,)收敛，并求其极限。6.设，f(x)为一个不超过n次的多项式，证明：(1);(2)。7.设f(x)C2a,b,写出梯形求积公式，并证明其截断误差为 8.设函数f(x)Ca,b,在Gauss公式中，证明Gauss系数 其中为Lagrange插值基函数。9Euler公式的截断误差为10、证明解线性方程组AX=b的雅可比迭代收敛，其中 A=
