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1、商丘市2013年高三第三次模拟考试数 学（理科）一、选择题1集合，则A B C D2若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则A2 B C D3若，则之间的大小关系是A B C D4为防止某种疾病，今研制一种新的预防药，任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：患病未患病总计服用药154055没服用药202545总计3565100的观测值为，则在犯错误的概率不超过（ ）的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”参考数据：A0.025 B0.05 C0.010 D0.105按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15，则判断框中的整数A3 B4 C5 D66已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则
2、该双曲线的离心率等于A B C D7如图是一个三棱柱的正视图和侧视图，其俯视图是面积为的矩形，则该三棱柱的体积是A8 B C16 D8函数的图象大致是9已知向量，向量，则的最大值、最小值分别是A，0 B4， C16，0 D4，010函数是A奇函数且在上单调递增 B奇函数且在上单调递增 C偶函数且在上单调递增 D偶函数且在上单调递增11抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是A B C D12已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A无论为何值，均有2个零点 B无论为何值，均有4个零点C当时，有3个零点；当时，有2个零点D当时，有4个零点；当时，有1个零点说明：第13题-
3、第21题为必做题，第22题-第24题为选做题。二、填空题13设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 。14将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法总数为 。15已知，若向区域上随机投一点P，则点P落在区域A的概率是 。16若为锐角三角形，的对边分别为，且满足，则的取值范围是 。三、解答题17在等差数列中，前项的和。（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且数列的前项和，对一切恒成立，求实数的取值范围。18某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不
4、小于90分为及格。（1）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；（2）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为，求的分布列和期望。19如图，三棱锥中，底面为边长为的正三角形，平面平面， 为上一点，为底面三角形的中心。（1）求证：平面； （2）求证：；（3）设为的中点，求二面角的余弦值。20已知椭圆为其右焦点，过垂直于的直线与椭圆相交所得的弦长为2。（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于A、B两点，若线段AB的中点P在直线上，求 的面积的最大值。21已知函数（为常数，）。（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实
5、数的取值范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22选修41：几何证明选讲如图，已知PE切于点E，割线PBA交于A、B两点，的平分线和AE、BE分别交于点C、D。（1）CE=DE； （2）。23选修44；坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线；过点的直线的参数方程为（是参数），直线与曲线C分别交于M、N两点。（1） 写出曲线C和直线的普通方程；（2） 若成等比数列，求的值。24选修4-5不等式选讲：已知函数。（1）当时，解不等式；（2）当时，求的取值范围。
6、商丘市2013年高三第三次模拟考试参考答案数 学（理科） .故的取值范围是. 12分（18） 解：（）甲班有人及格，乙班有人及格事件“从两班名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作，事件“从两班名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作. 2分则 4分（）的可能取值为. 5分 6分； 7分 ； 8分 .9分所以的分布列为 10分 12分 （19）证明：（）连结交于点，连结. 为正三角形的中心，,且为中点. 又，, ,2分 平面，平面， 面 4分（）,且为中点, 又平面平面， 平面,5分 由（）知， 平面, . 6分 连结,则,又, 平面,8分（）由（）（）知，两两互相垂直，且为中点， 分别以所在直
7、线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则9分，设平面的法向量为，则，令，则10分由（）知平面,为平面的法向量，又， 由图可知，二面角的余弦值为 12分（20）解：（）由题意知 解得： 3分 所求椭圆方程为 .4分（）设，联立方程组， 消去得：， ， ， ，6分 ， 点的坐标为， 由点在直线上，得，7分 8分 又点到直线的距离， 10分 令， ，当时，；当时，；当时，；当时，又，当时，的面积取最大值12分（21）解：（）当，定义域为，, 1分， 3分函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.5分（），即， 在上增，.7分,总存在,使不等式成立，只需即可，问题等价于不等式恒成立.8分方法1：令，则由于,
8、要使，必存在，使得在上单调递增，（若不然不会恒成立），可得，9分又当时，令,其对称轴， 由于，上,，在上单调递增, ，即，于是时, 总存在,使不等式成立.10分当时,由于，必存在，从而，在上单调递减，与矛盾. 所以.12分（法二），设，.，9分设，在上增，又，即，在上单调递增. 10分又， 11分. 12分（22）解：（）于点，.2分.4分，.5分（）， 6分，. 7分同理， 8分. 9分. 10分（23）解：（）曲线的普通方程为 2分 直线的普通方程为. 4分（）将直线的参数表达式代入抛物线得，5分 . 6分因为， 7分由题意知， 8分代入得 . 10分(24)解：（）当时， 1分当时，由得，解得当时，恒成立；当时，由得，解得4分所以不等式的解集为 5分（）因为，当时，；当时，.7分记不等式的解集为则，8分故，所以的取值范围是10分16
