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1、第4篇电磁学第9章静电场9.1基本要求掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。了解电场强度与电势的微分关系。理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。了解各向同性介质中和之间的关系。了解介质中的高斯定理。了解电容和电能密度的概念。9.基本概念电场强度：试验电荷所受到的电场力与之比，即电位移：电位移矢量是描述电场性质的辅助量。在各向同性介质中，它与场强成正比，即电场强度通量：电位移通量:电势能：（设）电势：（设
2、）电势差：场强与电势的关系（）积分关系（）微分关系电容：描述导体或导体组（电容器）容纳电荷能力的物理量。孤立导体的电容：；电容器的电容：静电场的能量：静电场中所贮存的能量。电容器所贮存的电能：电场能量密度：单位体积的电场中所贮存的能量，即9.基本规律库仑定律：叠加原理（）电场强度叠加原理：在点电荷系产生的电场中任一点的场强等于每个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。（）电势叠加原理：在点电荷系产生的电场中，某点的电势等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。高斯定理：真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/e 0倍。在有电介质的静电场中,
3、通过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.（为闭合曲面内的自由电荷）高斯定理表明静电场是有源场，电荷是产生静电场的源。环路定理：，说明静电场是保守场。导体的静电平衡条件（）导体内部的场强处处为零；（）导体表面的场强处处与导体表面垂直。静电平衡时导体上的电荷分布规律：电荷只分布在导体的表面，体内净电荷为零。静电平衡时导体的电势分布规律：导体为等势体，其表面为等势面。9.学习指导电场强度的计算方法（）根据点电荷的场强公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带电体）。在应用此法时，应尽量采用投影式，将矢量运算化成标量运算。（）利用高斯定理来计算。这种方法只有当场
4、源的电荷分布具有某种对称性时才较为简便。因此，利用此法时，首先要判别场源电场是否具有某种对称性，其次是要选好高斯面：（）要使待求的场点位于高斯面上；（）要使高斯面上的处处相等，或使高斯面上某些部分的为零，另一些部分的相等。（）已知电势分布，利用场强与电势的微分关系来计算。电势的计算方法（）根据点电荷的电势公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带电体）。（）利用电势的定义式来计算。电容的计算：先假定电容器上带有电荷，再求其场强和电势差，最后代入电容的定义式。 介质中场强的计算:(1)确定带电体和电介质是否具有对称性.(2)根据场的对称性,选取合适的高斯面.(3) 利用介质中的高
5、斯定理求出的分布.(4) 由,求出的分布.5电场能量的计算：先要弄清场强的空间分布，找出电能密度的表达式，再代入公式求积分。以上仅为一般情况，实际问题尚需根据具体情况灵活处理。例1 长米的直导线均匀地分布着线密度为的电荷。求：在导线的垂直平分线上与导线中点相距处点的场强。例1图解 以导线中心为坐标原点，如图所示建立坐标系。线元在点产生的电场强度为（方向如图所示）由于对称性，其叠加场强沿轴正方向，水平方向场强相互抵消。在点的场强为 方向沿y轴正方向。当导线l为无限长时，由上式可求得场强为。例2图例2 一带电细线弯成半径为的半圆形，其电荷线密度为,式中为半径与轴所成的夹角,为一常数，如图所示，试求
6、环心O处的电场强度。解 在处取电荷元，其电量为它在O点处产生的场强为在 x、y 轴上的两个分量， 所以 例3 一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线.解 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称分布.取高度为,半径为且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面,由高斯定理知当时 例3 图得 当时 得 取棒表面为零电势,空间电势的分布为当时 当时 例3图是电势随空间位置的分布曲线.9.5 习题详解9.1 某电场的电场线分布情况如图所示，一负电荷从M点移到N点。有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？
7、（ ）习题9.1图（A）电场强度EM EN （B）电势VM VN（C）电势能EPM 0。解：正确答案（C）。电场线的疏密程度反映了场强的强弱，由图可见，M点处电场线密度较N点处电场线密度大，故有EM EN ；电场线的性质告诉我们，沿着电场线方向电势是逐点降低的，应有VM VN ；电势能，故，答案（C）正确；电场力作功。9.2 下列叙述中正确的是( )（A）等势面上各点的场强大小一定相等（B）场强指向电势降落的方向（C）电势高处，电势能也一定高（D）场强大处，电势一定高 解：正确答案（B）。等势面上各点只有电势相等的结论，没有各点场强大小相等的结论；场强方向是沿着电场线的方向，也就是电势降落的方
8、向，答案（B）正确；电势能，电势能与和均有关，若电势高，而为负电荷时，其电势能就低；场强大处，只能反映该处电场线密度大，不能说明该处电场一定高，比如，在负点电荷的电场中，靠近点电荷处的电场线密度大，场强大，但是电势却低。9.3 半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，如图所示设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为( )习题9.3图OPQRr（A）E0，（B）E0，（C），（D） , 解：正确答案（B）。 由电荷分布的球面对称性可知，其电场分布亦具有球面对称性，即以O点为球心的球面上各点电场强度大小均相等。由高斯定理可得P点场强E=0,带点球面外电场分布为，故P点电
9、势9.4下面列出的真空中静电场的电场强度公式，试判断哪种表述是正确的（ ） (A)点电荷 周围空间的电场强度为 （ 为点电荷到场点的距离） (B)电荷线密度为 的无限长均匀带电直线周围空间的电场强度为 ( 为带电直线到场点并且垂直于带电直线的单位矢量) (C)电荷面密度为 的无限大均匀带电平面周围空间的电场强度为 (D)电荷面密度为半径为的均匀带电球面外的电场强度为 ( 为球心指向场点的单位矢量) 解:正确答案 （D） （A）中场强表达式，等号左侧是矢量，等号右侧是标量，等式不成立；（B）中正确结果应为；（C）中等式两边分别是矢量和标量，等式不成立；（D）由高斯定理可求得电场强度为习题9.5图
10、9.5 如图所示，闭合面内有点电荷，为面上的一点，在面外点有另一电荷q，若将q移到面外另一点处，则下列说法正确的是（ ）（A）面的电场强度通量改变，点场强不变（B）面的电场强度通量不变，点场强改变（C）面的电场强度通量不变，点场强不变（D）面的电场强度通量改变，点场强改变解：正确答案（B） 面内的电荷量没变，故面的电场强度通量不改变，又由于q点的移动，改变了空间电荷的分布，故P点场强要改变。9.6 一个未带电的空腔导体球壳内半径为R。在腔内离球心的距离为d处 (d R) 固定一电量为q的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O处的电势为（ ） (A) 0 (B)
11、 (C) (D) 解： 正确答案（D） 由于静电感应，在没有接地前，球壳内表面产生感应电荷，外表面产生感应电荷。当用导线把球壳接地后，导线中会有负电荷从大地上来，和外表面上的正电荷中和，撤去接地导线后，球壳上只有内表面上有感应电荷，外表面没有感应电荷。根据电势的叠加原理，球心O处电势为点电荷在该处产生的电势与球壳上只有内表面上感应电荷在该处产生电势的代数和，故正确答案为(D)。9.7 一正点电荷带电量q，A、B、C三点分别距离点电荷、。若选B点的电势为零，则点的电势为_，点的电势为_。习题9.7图ABC解 习题9.8图9.8 在坐标原点放一电荷量为的正电荷，它在点（，0）处激发的电场强度为，现
12、在引入一个电荷量为的负电荷，试问应将负电荷放在什么位置_才能使点的电场强度等于零.解 的方向为方向，可知在点产生的场强为方向，大小亦为，由可得，则负电荷应该放在点处。9.9 如图所示，真空中两个正点电荷 相距 。若以其中一点电荷所在处 点为中心，以 为半径作高斯球面 ，则通过该球面的电场强度通量 _；若以 表示高斯面外法线方向的单位矢量，则高斯面上 、 两点的电场强度分别为 _，和 _ 习题9.9图解 由高斯定理得；由电场叠加原理得 ；习题9.10图9.10 真空中一半径为 的均匀带电球面带有电荷 ( )如图所示，在球面上挖取一个非常小的面元 ，假设挖取面元后不影响其他各点的电荷分布，则挖取
13、后球心处电场强度的大小 _，其方向为_解 可将球心处的场强，看作是由小面电荷部分产生的场强与球面上其它部分面电荷产生的场强的叠加。在没有挖之前，球心处场强为零，即，所以，方向由圆心 点指向。9.11 有一平行板空气电容器，充电后与电源断开，然后注入相对介电常数为的均匀 电介质。则注入介质后，下述各物理量与未注入介质前之比分别为：电容器的电容 CC0 _；电容器中的电场强度EE0_；电容器中的电位移DD0_；电容器储存的能量WW0_-。解 ；9.12 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷为多少时，相互之间的作用力最大？解设其中一个点电荷带电，则另一个点电荷带电，两点电荷之间的库仑力 由极值条件 ， 得 又因，表明两个电荷平分时，它们之间的相互作用力最大。9.13 一半径为的半圆环上均匀地分布电荷，求环心处的电场强度.习题9.13图
