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1、4-4系统性能分析与估算本节将通过示例，说明如何应用根轨迹法分析系统性能。 【4-7】一单位反馈系统的开环传递函数为G(s)Ks2(s 10)试画出闭环系统的根轨迹。解此系统有三个开环极点：pi = 0， p2 = 0， P3 = -10。由常规根轨迹法则作出根轨迹如图4-16。由图4-16可见，有两条根轨迹线始终位于S平面的右半平面，即闭环系统始终有两个右极点，这表明K*无论取何值，此系统总是不稳定的，这样的系统，称为结构不稳定系统。如果在系统中附加一个开环零点 Zi，乙为负的实数零点，用 来改善系统动态性能，则系统开环传递函数变为Go(s)=K*D s2(s 10)将z1设置在0一10】之
2、间，则附加零点后的系统根轨 迹，如图4-17所示。很明显，当K*由0：变化时，这三条根轨迹线均 处在s平面的左半平面，即无论 K*取何值，系统总是 稳定的。而且闭环系统总有一对靠近虚轴的共轭复数极0点，即系统的主导极点。所以，无论K*取何值，系统S4-18附加零点后的根轨迹的阶跃响应都是衰减振荡的，且振荡频率随K*增大而增大。只要适当选取K*值，就可以得到满意圏4-怡例4-刃系统的根轨迹的系统动态性能。若附加零点 乙：-10，取乙=-20，则系统根轨迹如图4-18 所示，由图4-18可见，系统仍有两条根轨迹分支始终位于S平面的右半平面，系统仍无法稳定。因此，弓I入的附加零点要适当， 才能对系统
3、的性能有所改善。【例4 8】一单位反馈系统，其开环传递函数为：G(s)*(s 4)s (s + 2)试作根轨迹，分析 K*对系统性能的影响，并求出系统最小阻尼比所对应的闭环极点。解开环传递函数有二个极点，一个零点。可以证明，此类带零点的二阶系统的根轨迹其复数部 分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。分离点为4 = -1.17 d? = - 6.83系统的根轨迹如图 4-19所示利用幅值条件（4-7）式求得分离点di、d2处的根轨迹增益 K；、K；为：/ 口|4 2|1.17 0.828K =口+4|2.83=0.343;& =2K； =0.686*K26.83 4.832.
4、83=11.7该点对应的K*值可用幅值条件求得：K* =2。鑫MT非最小K2 =23.4可见,当根轨迹增益 K*在0 0.343范围内时，闭环系统为两个负实数极点，系统阶跃响应为非周期性质。当根轨迹增益 K*在0.343 11.7范围内，闭环系统为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减 过程。当根轨迹增益 K*在11.7 范围内，闭环系统又为两个负实数极点，其阶跃响应又为非周期性质。下面求解系统最小阻尼比所对应的闭环极点。在图4-19中，过坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦，即为系统的最小阻 尼比=cos ： = cos45 = 0.707因此，最小阻尼比为:=0.707所对应
5、的闭环极点可从图4-19直接得到% = -2 j2由于最小阻尼比为 0.707,故系统阶跃响应具有较好好的平 稳性、快速性。G(s)H(s)二K* (s 1)s(s_3)【例4-9】某非最小相位系统开环传递函数为试作系统根轨迹。解 所谓非最小相位系统，就是指在S平面的右半平面内具有开环零、极点的系统。反之，则为最小相位系统。如前面分析的系统均属于最小相位系统。绘制非最小相位系统的根轨迹一般与绘制常规根轨迹法则相同。(在非最小相位系统中，虽为负反馈系统，但有时会出现口 _G(s)H(s)形式的闭环特征式，这时应按零度根轨迹法则绘制。)系统根轨迹：(1) n = 2 ,则有两条根轨迹线。(2) 实
6、轴上根轨迹区段30和-1-：。(3) 渐近线一.=180。(4) 分离点坐标丄1d d -3 1解得 d1 =1d2 = -3分离点上的根轨迹增益分别求得为K； =1和K； =9。(5) 根轨迹与虚轴的交点一3蛍 + K=0解得 =3, K* =3根据上述分析计算，绘制系统根轨迹如图4-20所示。当K变化时，对阶跃响应的影响情况，读者可自行分析。【例4-10】单位反馈控制系统开环传递函数为G(沪 5 0 s(s + 1)(s+2)式中K*可自行选定，试作T变化时的根轨迹。解 本例实际上是两个参数同时变化时的根轨迹。解题步骤：(1) 写出以T变化时的等效开环传递传递函数。系统闭环特征方程为D(s
7、) =s(s 1)(s 2) K*(Ts 1) =0*G等效(s)二(4-31)K Tss3 3s2 2s K(2) 确定等效传递函数随K *变化时特征根的轨迹。首先要确定式(4-31)的特征根，为此，作如下传递函数Go(S)=K-32s 3s 2sKs(s 1)(s 2)(4-32)Go(s)所对应的闭环特征方程s3 - 3s2 2s K =0的根轨迹，即 G等效(s)的极点变化轨迹，如图4-21(a)所示。当 K *=20 时,G等效(s)的极点分别为 0.425 _ j 2.235和一3.85。G)E4-21 例4-10系统根臧(3) 在特定K*值下，做出控制系统在 T变化时的根轨迹。把
8、特定K* (如K*=20 )值及相应的G等效(s)的极点(一3.85和0.425 一 j 2.235)代入式(4-31)得G等效(S)=20Ts(s 3.85)(s-0.425j2.235)(s - 0.425 - j 2.235)作T*= 20T的根轨迹，如图4-21 ( b )中的曲线所示。(4)作不同特定K值，女口 K =6、 K =3时的根轨迹簇，如图4-21 ( b)中的和曲线所示。图4-21表示K*和T变化时的根轨迹簇。从图中可见，当 T增大时，系统的微分作用加强，使系K*=20 时,统阻尼加大，从而使系统的特征根向 s 平面的左半部移动，改善了系统的稳定性。当如T 0.233，则系统就稳定。
