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1、第1课时 向量的概念与几何运算基础过关1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 公式：向量+向最向量向量OA-向量向量3实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下： | | 当0时，的方向与的方向 ； 当0时，的方向与的方向 ； 当0时， () () () 共线定理：向量与非零向量共线的
2、充要条件是有且只有一个实数使得 共线定理：已知向量入OA+uOB，当入+u=1时，则P、A、B三点共线。共线定理3：x1y2-x2y1=04 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 设、是一组基底，则与共线的充要条件是 典型例题例1已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）ADBCABCD例2. 已知向量，其中、不共线，求实数、，使变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、C
3、D是梯形的两底边，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，试用、表示和BOADCNM 变式训练3：如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示，例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？ 小结归纳1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意与O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证，且AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个
4、向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点第2课时 平面向量的坐标运算基础过关1平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得xy我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 并且| 2向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，则： 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则 平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则4两个向量(x1、y1)和(x2
5、、y2)共线的充要条件是 典型例题例1.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标变式训练1.若，则= . 例2. 已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值变式训练2.已知2(3，1)，2(1，2)，求例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求xe1=a+2b=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)e2=2a-b=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)e1e2(2x+1)/(2-x)=4/34(2-x)=3(2x+1)8-4x=6x+310x=5x=1/2变式训练3.设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 )，求证：k提示: k
6、k0kAMBCDP例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹平行四边形中：A点坐标+C点坐标=B点坐标+D点坐标 向量AB=B点坐标-A点坐标. B点坐标=(1+6，1+0)=(7，1) 同理D点坐标=(4,6), C点坐标：(4+7-1,6+1-1)=(10,6)设点D坐标(x,y)则有(x-1)+(y-1)=36 ABCD MB：CD=BD：PD=1：2 用定比分点公式: 设P1（x1，y1），P2（x2，y2），点P（x，y）分线段P1P即P1P/P2P为， 则x=
7、（x1+x2）/（1+）， y=（y1+y2）/（1+）,并且-1。 所以点P的坐标：(7+2x)/3,(1+2y)/3)=(u,v) u=(7+2x)/3,则x=(3u-7)/2; v=(1+2y)/3,则y=(3v-1)/2; 将这个代入(x-1)+(y-1)=36，就是圆的轨迹方程，变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(3，4)，若点C在AOB的平分线上，且|2，求的坐标OB模长=5，OA模长=1，设OA=5OA，则A(0,5)与B的连线中点(-1.5,4.5)在AOB的平分线上.设点C(x,y)，那么x/y=-1.5/4.5x2+y2=22x=-(10)/5,y=
8、3(10)/5第3课时 平面向量的数量积平面向量的数量积知识点：1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹
9、角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O基础过关1两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的 当0时，与 ；当180时，与 ；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作，即 规定零向量与任一向量的数量积为0若(x1, y1)，(x2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影
10、 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于 4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 当与同向时， ；当与反向时， cos | 5向量数量积的运算律： ； () () () 典型例题例1. 已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)1、|a|=4,|b|=5, 且向量a与向量b的夹角为60ab=|a|b|cos60 =4*5*1/2 =10(2a+3b)(3a-2b) =6|a|+5ab-6|b| =6*4+5*10-6*5 =-4变式训练1.已知|3，|4，|5，求|23|的值|a+b|2=52=25=a2+2ab+b2=25+2ab即 ab=0|2a-3b|
11、2=4a2-12ab+9b2=4*9+9*16=180所以|2a-3b|=根号180=6根号5.例2. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值变式训练2：已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)例3. 已知O是ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，判断ABC是哪类三角形解:设BC的中点为D，则()()020BCADABC是等腰三角形.变式训练3：若，则ABC的形状是 . 例4. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()的值.变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意与ab的区别0，或 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合变式训练4.已知ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC的面积分成45两部分（三角形面积：
