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1、新教材适用北师大版数学第6课时简单的三角恒等变换能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢?代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可
2、以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.问题2:三角恒等变换的要求是什么?(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值.(2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的范围.(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.问题3:三角恒等变换有哪些技巧?(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换.(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关
3、系式将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称.(3)升幂与降幂公式:sin2=,cos2=,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,就是升幂.(4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺利运用,解题过程中常见的角的代换有:=()-,=-(),=(+)+(-),+=()-.问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么?(1):审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图.(2):根据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型.(3):利用三角变换,对所建立的
4、三角函数模型进行分析研究得到数学结论,即求得数学模型的解.(4):检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.1.coscos的值是().A.B.C.-D.12.若cos =-,是第三象限的角,则=().A.2B.C.-2D.-3.若sin(+)=,则cos 2=.4.已知0,00),函数f(x)=mn的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在0,上的值域.已知角A、B、C为ABC的三个内角,=(sin B+cos B,cos C
5、),=(sin C,sin B-cos B),=-.(1)求tan 2A的值;(2)求的值.1.等于().A.tan B.tan 2C.1D.2.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)的值是().A.-1B.-sin 2C.D.13.已知sin =+cos ,且(0,),则的值为.4.若cos +sin =1,且sin -cos =1,求证:+=2.(2013年陕西卷)已知向量a=(cos x,-),b=(sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,上的最大值和最小值.考题变式(我来改编):答案第6课时简单的三角恒等变换知
6、识体系梳理问题3:(2)tan =(3)(4)+-2+问题4:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验基础学习交流1.A原式=2sincoscos=2sincos=sin=.2.C依题意得sin =-,则=-2.3.-由sin(+)=可知,cos =,则cos 2=2cos2-1=2()2-1=-.4.解:由4tan=1-tan2得tan =.由3sin(+)-=sin(+)+,得tan(+)=2tan ,tan(+)=1.又0,0,0+0.于是,正确解答如下:sin A+sin C=2sin B,即2sin cos =4sin cos ,sin =cos =,而00,由题意知A=6.(2)由
7、(1)知f(x)=6sin(2x+),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin2(x+)+=6sin(2x+)的图象;再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+)的图象.因此g(x)=6sin(4x+).因为x0,所以4x+,故g(x)在0,上的值域为-3,6.应用三:(1)=(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cos B)=sin(B+C)-cos(B+C)=-,sin A+cos A=-,两边平方整理得:2sin Acos A=-,-0,A(,),sin A-cos A=.联立得:sin A=,cos A=-,ta
8、n A=-,tan 2A=-.(2)tan A=-,=13.基础智能检测1.B=tan 2.2.A(法一)由sin 2x=,知f(tan x)=,f(-1)=-1.(法二)f(-1)=ftan(-)=-sin=-1.3.-由sin =+cos 得sin -cos =,(sin -cos )2=1-2sin cos =,2sin cos =.=-(sin +cos ),而(sin +cos )2=1+2sin cos =,又0,sin +cos =,原式=-.4.解:cos -sin 得,=cos +sin .sin -cos 得,=sin -cos .2+2得+=2.全新视角拓展f(x)=(cos x,-)(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin(2x-).(1)f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x,-2x-.由正弦函数的性质知,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1,当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=,即x=时,f()=,f(x)的最小值为-.因此,f(x)在0,上的最大值是1,最小值是-.思维导图构建
