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1、北京市东城区20202020学年度高三综合练习(二) 数 学 试 题2020.5本试卷分第I卷和第卷两部分,共150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,第小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1已知复数z=(a1)+i,若z是纯虚数,则实数a等于( )A2B1C0D12设集合,那么“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )Amn,
2、m n B,m,n mnCm,mn nDm,n,m,n4若曲线的一条切线l与直线x+4y8=0垂直,则切线l的方程为( )ABCD5已知函数两函数图象的交点个数为( )A4B3C2D16已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线上,且AF2x轴,若,则双曲线的离心率等于( )A2B3CD7若函数是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围是( )A(,2)B(,C(0,2)D8已知数列可能等于( )A14B15C16D17第II卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在答题卡相应位置的横线上.9命题“”的否定是 .10已知向量a=(1,1),ab=3,|
3、 a+b |=,则|a|= ,|b|= .11在直角坐标系xOy中,设集合,在区域内任取一点P(x,y),则满足的概率等于 .12已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是 .13执行如图所示的程序框图,输出的T= .14已知函数,有下列命题: 当的最小正周期是; 当的最大值为; 当的图象向左平移可以得到函数的图象 其中正确命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上).三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15(本小题满分13分) 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,
4、b,c,且0=2,cosB=. (1)若b=3,求sinA的值; (2)若ABC的面积=3,求b,c的值.16(本小题满分13分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照区问160,165,165,170,170,175,175,180,180,185分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图). (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数; (2)将身高在170,175,175,180,180,185敬意内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人,求从这三个组分别抽取的学生人数; (3)在(2)的条件下,要从6名学生中抽取2人,用
5、列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率.17(本小题满分14分)如图,四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点 (1)求证:ADPC; (2)求三棱锥APDE的体积; (3)AC边上是否存在一点M,使得PA平面EDM,若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由18(本小题满分13分) 已知等比数列an的公比q1,4是a1和a4的一个等比中项,a2和a3的等差中项为6,若数列bn满足bn=log2an(nN*). (1)求数列 an的通项公式; (2)求数列 an bn 的前n项和Sn19(本小题满分13分)已知椭圆的短轴长为2,且与抛物
6、线有共同的 焦点,椭圆C的左顶点为A,右顶点为B,点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线 AP,BP与直线y=3分别交于G,H两点 (1)求椭圆C的方程; (2)求线段GH的长度的最小值; (3)在线段GH的长度取得最小值时,椭圆C上是否存在一点T,使得TPA的面积为 1,若存在求出点T的坐标,若不存在,说明理由20(本小题满分14分)已知函数, (1)若函数,f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围; (2)设,求证: 参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1B 2B 3A 4D 5C 6A 7B 8C二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9 10 11
7、1211 1320 14 注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15(本小题满分13分) 解:(1)因为,所以2分由正弦定理,得6分 (2)因为所以9分由余弦定理,得所以13分16(本小题满分13分)解:(1)由频率分布直方图可知所以3分(人).5分 (2)A,B,C三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A,B,C组中每组各抽取(人),202(人),101(人).8分 (3)在(2)的条件下,设A组的3位同学为A1,A2,A3,B组的2位同学为B1,B2,C组的1位同学为C1,则从6名学生中抽取2人有15种可能:其中B组的2
8、位学生至少有1人被抽中有9种可能;所以B组中至少有1人被抽中的概率为13分17(本小题满分14分) (1)证明:因为PD平面ABCD,所以PDAD.2分又因为ABCD是矩形,所以ADCD.3分因为PDCD=D,所以AD平面PCD.又因为PC平面PCD,所以ADPC.5分 (2)解:因为AD平面PCD,所以AD是三棱锥APDE的高.因为E为PC的中点,且PD=DC=4,所以7分又AD=2,所以9分 (2)解:取AC中点M,连结EM,DM,因为E为PC的中点,M是AC的中点,所以EMPA.又因为EM平面EDM,PA平面EDM.所以PA平面EDM.12分所以.即在AC边上存在一点M,使得PA平面ED
9、M,AM的长为.14分18(本小题满分13分)解:(1)因为是a1和a4的一个等比中项,所以由题意可得2分在为解得4分所以故数列的通项公式6分 (2)由于 得13分19(本小题满分13分)解:(1)由已知得,抛物线的焦点为由故椭圆C的方程为4分 (2)直线AP的斜率k显然存在,且k0,故可设直AP的方程为,从而由6分当且仅当时等号成立.所以时,线段GH的长度取最小值8.8分 (3)由(2)可知,当GH取最小值时,.则直线AP的方程为若椭圆C上存在点T,使得的面积等于1,则点T到直线AP的距离等于,所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.设直线则由10分可求得13分20(本小题满分14分)解:(1)函数3分因为上为单调增函数,所以上恒成立.即上恒成立.所以当且仅当时等号成立.所以.故关数a的取值范围是7分 (2)当所以上是增函数.所以所以所以即10分所以故所证不等式成立.14分