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1、综合测评（三）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.与向量a=（1，3,2）平行的一个向量的坐标是（）4 1 .A. ， 1I3B. (1，3,2)c. -2,D.( J2，一 3,【解析】132，2，_ 1 .匕匕 7a = (1 ,-3,2)=-2【答案】C1 2.在正方体 ABCDA BCD 中，A E=A C，AE=xAA +y(AB111114111，+AD），则（)11A.x=1，y 2B. x 1，y 311C. x=2,y 1D. x 1，y 41 【解析】AE = AA +
2、 A e = AA + _a c = AAAE11E1 4 A1C11(AB + AD),.x = 1 , y=4.应选D.1 1+ 4AC = AV 4【答案】D)B. (5,9,2)D. (5,9,2)【解析】a = CA = (- 1,0，-2) , b = CB = (-4,9,0),3.已知A(2,一4,1), B(1,5,1), C(3,4,1), O(0,0,0),令 a = CA, b = CB，贝a+b 为(A. (5,9,2)C. (5,9,2)Aa + b = ( - 5,9 ,- 2).【答案】B_4. 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，若AC1 = aAB
3、+ 2bAD + 3cAA,则abc的值等于()1571A.6 b.6 C.6 D.6【解析】 .为。=ABAD - AA1 = aAB + 2bAD + 3CA# ,111.。-1，。-),。-宁，.abc =- 6，【答案】D5. 棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的 是() A. AB = C1D1B.AB BC=0 C.AAB1D1 = 0D.ACA1C=0【解析】如图，ABlICq , ABBC , AA1B1D1，故 A、B、C选项均正确.【答案】D6.已知向量a、b是平面a内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“ca = 0,且c。=0”是la
4、的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 若la测l垂直于a内的所有直线，从而有ca = 0 , c-b = 0.反之，由于a、b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立;若不共线，则结论成立.【答案】B7.已知A4C 的三个顶点为 A(3,3,2), B(4,3,7), C(0,5,1), 则BC边上的中线长为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】设BC中点为D，则D(2,1,4),/.AD = ( - 1 ,- 2,2),.IAD| ；12 + (-2)2 + 22 = 3，即 BC 边上的中线长为 3.【答案】B8. (2014-荆
5、州高二质检)若向量 a = (x,4,5), b = (1,2,2)，且 a与b的夹角的余弦值为言，则x=()A. 3C.-11D. 3 或-11【解析】 因为 ab = (x,4,5)(1 ,-2,2) = x - 8 + 10=x + 2，且 a 与b的夹角的余弦值为率，所以言，+4 +;+2 ； ，解 得x = 3或-11(舍去)，故选A.【答案】A9.如图 1 在长方体 ABCD-AlBlClDl 中，AB=BC=2, AA1 = 1, 则Bq与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.图1B罕【解析】 以D点为坐标原点，以DA,DC, DD1所在的直线为 x辄J辄z轴，建立空间直角坐
6、标系(图略)，则A(2,0,0) , B(2,2,0), C(0,2,0)，C1(0,2,1)，.BC = ( - 2,0,1)，AC = ( - 2,2,0)，且AC为平面 BBrd 的一个法 向量.我，灸=竺匹=-二丑1成扁* 5，_.sinBC1 , AC= IcosBC1 , AC) 1=以.Bq与平面BB1D1D所成的角的正弦值为马0.【答案】D10.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA=2AB,则CD与平面BDC所成角的正弦值等于（）1d，3【解析】则DC=(0,1,0)，DB =以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA=2AB=2,则 D(0,0,0)，C(0,
7、1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，(1,1,0)，DC1 = (0,1,2).设平面 BDq 的法向量为 n = (x，y，z)，贝nx+y=0，y+2z=0 令 y=-2,得平面 BDC1 的一DB，nDC1，所以有个法向量为n = （2，-2,1）.设CD与平面BDC1所成的角为。，则sin0=Icosn，DCI =nDCInllDCI【答案】A11. （2014-安徽省合肥一中期末 考试）已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，若点 F 是侧面 CD的中心，且AF=AD+mAB-nAA1， 则m, n的值分别为（）1a.2,11b.-2，-21 1D-2，21 仁-2
8、,【解析】由 于AF = AD + DF = AD + DD1) = AD +2AA1，所以m = 2，n =- 2，故选 A-【答案】A12.在矩形 ABCD 中，AB=3, AD=4, BAL平面 ABCD, PA =，那么二面角A-BD-P的大小为（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 75【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，(4 、则 pb = 3,0,-5b，BD = ( - 3,4,0).设n = (x,y , z)为平面PBD的一个法向量，则一 八 /4、n PB = 0，(x,y,z)3,0，-5/3*。，nbD = 03 , y , z)(-3，4，0) = .J
9、3x - J3 z =。，入 -.(35、即15令x=1 ,则 n= 1，4,京3、-3x + 4y = 0.I/又H1 = o，0，4为平面ABCD的一个法向量，.C0S叩二箱 = .所求二面角为30. n 1 n【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若 = （2x,1,3）, b = （1,2y,9），且 a 与 b 为共线向量，则 x ，y=.2x1313解析】由题意得 1 = y = 9，x = 6，y=-2.【答案】6 214. （2014-人大附中期中考试）SBC的三个顶点坐标分别为A（0,0,，2），B明，1 曲，。（一1,0,，2），则角 A 的大
10、小为.一 ，一您 1、一一一AU. AC【解析】AB=-写，2,0，AC=（-1，。，0），则 CosA= _ _IABIIACI=- =雄，故角A的大小为30.1X12【答案】3015. （2014-清华附中高二月考）在空间直角坐标系Oxyz中，已知 A（1，2,3）、B（2，1，1），若直线AB交平面xOz于点C，则点C的 坐标为.【解析】设点C的坐标(x,0 , z)，贝Me =(x-l,2,z-3), AB二(1,3, -4)，因为与夜共线,所以旱v=Mx =，解得，z =53，13，所以点C的坐标为g , 0 ,【答案】(51)3，0, 3k3316. (2014-长沙高二检测)如图
11、2,在三棱锥ABCD中，DA,DB, DC两两垂直，且DB=DC, E为BC中点，则AE6。等于图21 【解析】因为E为BC的中点所以AE = DE - DA= 2(DB + DC) 一-DA，因为在三棱锥ABCD 中, DA , DB , DC两两垂直，且DB一 J I 1 =DC，所以曲. BC = 1 (DB + DC) - DA (DC - DB) = 2(DC2 - DB2)=0.【答案】0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分10分）如图3所示的平行六面体中，求证：AC+_ABf +ADf =2AC.图3【证明】.平行六
12、面体的六个面均为平行四边形，AC = AB+AD , AB =AB+ AAr , AD =AD+AAAC + AB + AD (AB + AD) + (AB + AA )+ (AD + AA )=2(AB+ad+aa )., 又AA =CC , AD BC ,.AB+AD+ AA =AB + BC+CC =AC+CC = AC .AC + AB + AD =2AC 18.（本小题满分12 分）（2014-石河子高二检测）如图4所示，平 行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别在B1B和D1D上，且BE12=砂，DF=DD1.（1）证明：A, E, C1, F四点共面;一 一 一 一(2)若EFxAByADzAA, 求 xyz.一 一 一 一【解析】（1）因为AC】= AB+AD+AA1汽 L 1 2 = AB AD + AA1 +jAA1(一 1 一 =ab+1aaik 3(一 2 一 AD + 2AA1k 3 1J一 一 一 一 一 一=AB + BE + AD + DF = AE + AF ,所以A,E,C1,F四点共面.(2).EF = EA+ af = eb + ba+ad + df一 一 一 2 一=-BE - AB + AD + DD 3DD11 一= 3BB11 一=W1一 一 2 一-AB + AD
