《中考数学专题复习相似图形经典实用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学专题复习相似图形经典实用(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、中考数学专题复习 相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段: 1、线段的比:如果选用同一长度的两条线段,的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比,即:= 2、比例线段:四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做同比例线段,简称 3、比例的基本性质:= 4、平行线分线段成比例定理:将平行线截两条直线【提醒:表示两条线段的比时,必须使示用相同的 ,在用了相同的前提下,两条线段的比值与用的单位无关 即比值没有单位。】二、相似三角形: 1、定义:如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质:相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比
2、都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定:基本定理:平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交,三角形与原三角形相似 两边对应 且夹角 的两三角形相似 两角 的两三角形相似 三组对应边的比 的两三角形相似【名师提醒:1、全等是相似比为 的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定,要证四条线段的比相等,一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形: 1、定义:各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质:相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 【名师提醒:相似多边形没有专门的判定方法,判
3、定两多边形相似多用在矩形中,一般用定义进行判定】一、 位似: 1、定义:如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质:位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒:1、位似图形一定是 图形,但反之不成立,利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比位r,那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】【典型例题解析】考点一:比例线段例1 如图,已知ABC,AB=AC=1,A=36,ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是 ,cosA的值是 (结果保留根号)考点:黄
4、金分割;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义分析:可以证明ABCBDC,设AD=x,根据相似三角形的对应边的比相等,即可列出方程,求得x的值;过点D作DEAB于点E,则E为AB中点,由余弦定义可求出cosA的值点评:ABC、BCD均为黄金三角形,利用相似关系可以求出线段之间的数量关系;在求cosA时,注意构造直角三角形,从而可以利用三角函数定义求解对应训练2如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A B C D 考点二:相似三角形的性质及其应用例2 已知ABCDEF,ABC的周长为3,DEF的周长为1,则ABC与DEF的面积之比为
5、9:1对应训练2已知ABCABC,相似比为3:4,ABC的周长为6,则ABC的周长为 8 考点三:相似三角形的判定方法及其应用例3 如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC= BC图中相似三角形共有()A1对B2对C3对D4对考点:相似三角形的判定;正方形的性质例4(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB;考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;正方形的性质对应训练3.如图
6、,ABCADE且ABC=ADE,ACB=AED,BC、DE交于点O则下列四个结论中,1=2;BC=DE;ABDACE;A、O、C、E四点在同一个圆上,一定成立的有()A1个B2个C3个D4个考点:相似三角形的判定;全等三角形的性质;圆周角定理4. 在锐角ABC中,AB=4,BC=5,ACB=45,将ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到A1BC1(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求CC1A1的度数;(2)如图2,连接AA1,CC1若ABA1的面积为4,求CBC1的面积;(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,
7、求线段EP1长度的最大值与最小值考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质专题:几何综合题分析:(1)由由旋转的性质可得:A1C1B=ACB=45,BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得CC1A1的度数;(2)由ABCA1BC1,易证得ABA1CBC1,然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得CBC1的面积;(3)由当P在AC上运动至垂足点D,ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小,当P在AC上运动至点C,ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值与最小值解答:解:(1)
8、由旋转的性质可得:A1C1B=ACB=45,BC=BC1,CC1B=C1CB=45,.(2分)CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90(2)ABCA1BC1,BA=BA1,BC=BC1,ABC=A1BC1,ABC+ABC1=A1BC1+ABC1,ABA1=CBC1,ABA1CBC1 ,SABA1=4,SCBC1=; (3)如图1,过点B作BDAC,D为垂足,ABC为锐角三角形,点D在线段AC上,在RtBCD中,BD=BCsin45=, 当P在AC上运动与AB垂直的时候,ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小,最小值为:EP1=BP1-BE=BD-BE=-2;
9、当P在AC上运动至点C,ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,最大值为:EP1=BC+BE=2+5=7点评:此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用此题难度较大,注意数形结合思想的应用,注意旋转前后的对应关系考点四:位似例5 如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形,已知AC=3,若点A的坐标为(1,2),则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是()A B C D 考点:位似变换;坐标与图形性质分析:延长AB交B
10、C于点E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然后求得小正方形的对应训练5如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1:,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为()A(,0) B( C D 考点:位似变换;坐标与图形性质【聚焦中考】1已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=()ABCD2考点:相似多边形的性质;翻折变换(折叠问题)2如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似,且矩形OAB
11、C的面积等于矩形OABC面积的 ,那么点B的坐标是()A(-2,3)B(2,-3)C(3,-2)或(-2,3)D(-2,3)或(2,-3)考点:相似多边形的性质;坐标与图形性质3.在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则 的值是()A B C D 考点:相似三角形的判定与性质;菱形的性质4.为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中ABBE,EFBE,AF交BE于D,C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据:BC,ACB;CD,ACB,ADB;EF,DE,BD;DE,DC,BC能根据所测数据,求出A,B间距离的有()A1组B
12、2组C3组D4组F考点:相似三角形的应用;解直角三角形的应用5如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4)已知A1B1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5),若ABC与A1B1C1位似,则A1B1C1的第三个顶点的坐标为 (3,4)或(0,4)考点:位似变换;坐标与图形性质6如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC和DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:(1)试证明三角形ABC为直角三角形;(2)判断ABC和DEF是否相似,并说明理由;(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P
13、3,P4,P5中的3个格点并且与ABC相似(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明)考点:作图相似变换;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定【备考真题过关】一、选择题1已知 ,则 的值是()A B C D2如图,ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC若ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为()A2 B3 C D3如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EFACHG,EHBDFG,则四边形EFGH的周长是()A B C D考点:平行线分线段成比例;勾股定理;矩形的性质4小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是()AFGBFHCEHDEF考点:相似图形5.如图,六边形ABCDEF六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正