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1、-高三数学应用题专题复习类型一：函数应用题1.1 以分式函数为载体的函数应用题例1. 工厂生产*种产品，次品率p与日产量*(万件)间的关系为：c为常数， 且0c6. 每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.1将日盈利额y(万元)表示为日产量*(万件)的函数；2为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率100%)【解】1假设，则， 假设，则 ， 2当，则假设，则，函数在上为增函数，假设，在上为增函数，在上为减函数，当时，. 综上，假设，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；假设，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 例2. 近年来，*企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减
2、排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费单位：万元与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. 1试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式；2当为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？【解】1的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安
3、装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由,得，所以；2因为.当且仅当，时取等号，所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元.1.2 以分段函数为载体的函数应用题例3. 在等边中,=6cm，长为1cm的线段两端点都在边上，且由点向点运动运动前点与点重合，,点在边或边上；,点在边或边上，设. 1假设面积为,由围成的平面图形面积为，分别求出函数的表达式；2假设四边形为矩形时，求当时, 设，求函数的取值围 .解：1当时，F在边AC上，；当时，F在边BC上， ,，当时，F、G都在边AC上，；当时，F在边AC上，G在边BC上, ；当时，F、G都在边BC上, . 2当时，当时，例4. 如图，长方体物
4、体在雨中沿面面积为的垂直方向作匀速移动，速度为vv0，雨速沿移动方向的分速度为，移动时单位时间的淋雨量包括两局部：1或的平行面只有一个面淋雨的淋雨量，假设其值与S成正比，比例系数为1；2其他面的淋雨量之和，其值为. 记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积S=.1写出的表达式；2设0v10,0c5，试根据的不同取值围，确定移动速度，使总淋雨量最少.1.3 以二次函数为载体的函数应用题例5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC是一段抛物线，*轮滑运发动通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE抛物线CDE与抛物线
5、ABC在同一平面，D为这段抛物线的最高点现在运发动的滑行轨迹所在平面上建立如下图的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米1求助跑道所在的抛物线方程；2假设助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有一样的切线，为使运发动平安和空中姿态优美，要求运发动的飞行距离在4米到6米之间包括4米和6米，试求运发动飞行过程中距离平台最大高度的取值围？注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值【解】1设助跑道所在的抛物线方程为，依题意： 解得，助跑道所在的抛物线方程为2设飞行轨迹所在抛物线为，依题意：得解得，令得，当时，有最大值为，
6、则运发动的飞行距离，飞行过程中距离平台最大高度，依题意，得，即飞行过程中距离平台最大高度的取值围为在2米到3米之间例6. *单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元为了增加企业竞争力，决定优化产业构造，调整出* (*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2*%1假设要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？2在1的条件下，假设调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值围是多少？【解】1由题意，得10(1000*)(10.
7、2* %)101000，即500*0，又*0，所以0*500即最多调整500名员工从事第三产业2从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以a*10002*，所以a*1000*，即a1恒成立因为4，当且仅当，即*500时等号成立，所以a5，又a0，所以0a5所以a的取值围为(0，类型二：三角测量应用题2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题A OZ OZ CZ BZ 1 2 * y 例7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮的半径为为常数，小飞轮的半径为，.在大飞轮的边缘上有两个点，满足，在小飞轮的边缘上有点设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开场时，点，
8、在水平直线上m1求点到达最高点时，间的距离；2求点，在传动过程中高度差的最大值. 【解】1以为坐标系的原点，所在直线为轴，如下图建立直角坐标系当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过 此时A0，2r，C 2由题意，设大飞轮转过的角度为，则小飞轮转过的角度为2，其中此时B2r，2r，C4r+r，r记点高度差为，则即设，则 令，得或1则，0或2 列表：02+0-0+0极大值f()极小值f()0当=时，f()取得极大值为；当=时，f()取得极小值为答：点B，C在传动中高度差的最大值 2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题例8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动
9、，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.1试确定在时刻时点距离地面的高度；2在摩天轮转动的一圈，有多长时间点距离地面超过？3求证：不管为何值，是定值.2.3 以解三角形为载体的三角应用题例9不含分式构造的解三角形问题；例10和例11含有分式结构的解三角形问题，方法略有不同例9. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影局部所示，路宽米，设灯柱高米，. 1求灯柱的高用表示；2假设灯杆与灯柱所用材料一样，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值 例10. 如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a(0a)得
10、到正方形ABCD根据平面几何知识，有以下两个结论：AFEa；对任意a(0a)，EAL，EAF，GBF，GBH，ICH，ICJ，KDJ，KDL均是全等三角形1设AE*，将*表示为a的函数；2试确定a，使正方形ABCD与正方形ABCD重叠局部面积最小，并求最小面积【解】1在RtEAF中，因为AFEa，AE*，所以EF，AF 由题意AEAE*，BFAF，所以ABAEEFBF*3所以*，a(0，) 2SAEFAEAF*()2 令tsinacosa，则sinacosa 因为a(0，)，所以a(，)，所以tsin(a)(1，SAEF(1)(1) 正方形ABCD与正方形ABCD重叠局部面积 SS正方形ABC
11、D4SAEF99 (1)18(1)当t，即a时等号成立 例11. 如下图，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进展加固，有两种方法：1如图1设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固图中虚线所示则BE多长时钢丝绳最短？2如图2设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固图中虚线所示则BE多长时钢丝绳最短？AEDCBFAEDCBF图1图2【解】1设钢丝绳长为ym，则其中，当时，即时，2设钢丝绳长为ym，则其中，9分令得
12、，当时，即时12分例12. 海岸线，现用长为的拦网围成一养殖场，其中1假设,求养殖场面积最大值；2假设、为定点，在折线选点，使，求四边形养殖场DBAC的最大面积；3假设(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.【解】1设，所以，面积的最大值为，当且仅当时取到2设为定值) (定值) ，由，a =l，知点在以、为焦点的椭圆上，为定值只需面积最大,需此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点 面积的最大值为，因此,四边形ACDB面积的最大值为3先确定点B、C，使. 由(2)知为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.确定BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由(1
13、)知AB=AC时四边形ACDB面积最大.ACDABD，CAD=BAD=，且CD=BD=.S=.由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为.所以，四边形ACDB面积最大值为.2.4 以立体几何为载体的三角应用题例13. *企业拟建造如下图的容器不计厚度，长度单位：米，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其外表积有关圆柱形局部每平方米建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元1写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；2求该容器的建造费用最小时的【解】I设容器的容积为V，由题意知故由于，因此所以建造费用因此2由1得由于当令，所以 1当时，易得是函数y的极小值点，也是最小值点。 2当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时例14. *部门要设计一种如下图的灯架，用来安装球心为，半径为R米的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托所在圆的圆心都是、半径都是R米、圆
