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1、2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）（2015北京）复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i2（5分）（2015北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD23（5分）（2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）4（5分）（2015北京）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件5（5分）（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5
2、6（5分）（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则若a1+a20，C若若0a1a2，则a2D若a10，则（a2a1）（a2a3）07（5分）（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x28（5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C
3、甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9（5分）（2015北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10（5分）（2015北京）已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=11（5分）（2015北京）在极坐标系中，点（2，）到直线（cos+sin）=6的距离为12（5分）（2015北京）在ABC中，a=4，b=5，c=6，则=13（5分）（2015北京）在ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=14（5分）（2015北京）设函
4、数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）（2015北京）已知函数f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最小值16（13分）（2015北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲
5、的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17（14分）（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值18（13分）（2015北京）已知函数f（x）=ln，（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求证，当x（0，1）时，f（x）；（）设实数k使得f（x）对x（0，1）恒成立，求k的最大值19（14分）（2015北京）已知椭圆C：+
6、=1（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由20（13分）（2015北京）已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试
7、题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）（2015北京）复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则解答解答：解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故选：A点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意i2=12（5分）（2015北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内
8、部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值=故选：C点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题3（5分）（2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k3，退出循环，输出（4，0）解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i
9、=2x=0，y=2，k=1不满足条件k3，s=2，i=2，x=2，y=2，k=2不满足条件k3，s=4，i=0，x=4，y=0，k=3满足条件k3，退出循环，输出（4，0），故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题4（5分）（2015北京）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确
10、选项解答：解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选B点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念5（5分）（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图可判断直观图为：A面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求
11、解面积解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=22=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质6（5分）（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则若a1+a20，C若若0a1a2，则a2D若a10，则（a2a1）（a2a3）0考点：等差数列的性
12、质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：对选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：若a1+a20，则2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即A不正确；若a1+a20，则2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即B不正确；an是等差数列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即C正确；若a10，则（a2a1）（a2a3）=d20，即D不正确故选：C点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2考点：指、对数不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）log2（x+1）的x范围是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故选C点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移8（5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升
