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1、2020 年高考物理备考微专题精准突破专题 2.9 双星与天体追及相遇问题【专题诠释】一、双星问题(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示(2)特点： 各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即严=%,竿 =肌2咱2 两颗星的周期及角速度都相同，即T1 = T2,叫=込 两颗星的半径与它们之间的距离关系为：厂+厂2=厶.两颗星到圆心的距离s r2与星体质量成反比，即m1/.二、卫星中的“追及相遇”问题 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上由于它们的轨道不是重合 的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，
2、而是通过卫星运动的圆心角来衡量， 若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为n的 整数倍时就是出现最近或最远的时刻【高考领航】【2018高考全国卷I】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的 过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗 中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一 时刻两颗中子星()A. 质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度【答案】 BC【解析】 两颗中子星运动到某位置的示
3、意图如图所示每秒转动 12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gmm_i1=m 2-Gmm=加2厂21 =厂+厂2G (m +m )e2/3由式得12 2 =e2l，所以m1+m2=质量之和可以估算由线速度与角速度的关系v=mr得 v1 = er1v2=er2 由式得v1+v2=e(r1 + r2) = e/,速率之和可以估算.质量之积和各自自转的角速度无法求解【技巧方法】1.双星问题求解思维引导各星的周期F=ni2曲苓尸师2需r2L i及角速度相同，都为r和L刀41引币确定各星间确定对某一确定各皑间的万有引力合J矿星提供的向距离疋仆大小一心力大小确定各星的L I轨道半胫所需2
4、.对于天体追及问题的处理思路的等所力并 供力休心程 提心星向方解 由向于盅列求.(1)根据卑严=mrm2,可判断出谁的角速度大；(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解【最新考向解码】【例1】(2019山东恒台一中高三上学期诊断考试)2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波。该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得圆周运动的周期T极其缓慢地减小，双星的质量m1与m2均不变，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相 距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，则下列关
5、于该双星系统的说法正确的是（ ）A. 两颗中子星的自转角速度相同，在合并前约100 s时e=24n rad/sB. 合并过程中，双星间的万有引力逐渐增大C. 双星的线速度逐渐增大，在合并前约100 s时两颗星速率之和为9.6nxl06 m/sD. 合并过程中，双星系统的引力势能逐渐增大【答案】 BC【解析】由题可知，两颗中子星的公转角速度相同，在合并前约100 s时，双星的转动频率为12 Hz，则公转角速度rn0=2nf=24n rad/s，而自转角速度由题中条件不能求得，A错误；设两颗星的轨道半径分别为2q、r2，相距为L，根据万有引力提供向心力可知：:；2%2二血门公,；2“2=m2r2公
6、,又r1 + r2=L，丁=誥， L L 公4n2L3整理可得G（mi mJ=勞，解得t= ： G（m“二），由此可知，周期变小，双星间的距离变小，双星间的2万有引力F=Gmm逐渐增大，B正确；设两颗星的线速度分别为V、v2,则GmLm2=m1V1，G晋=m学,L Lr1Lr2Gm2（丄厂,Gm ，l减小，双星的线速度逐渐增大，根据（m 1 十 mjL 2（m 十 mjLv=re可知:v1 = r1公，v2=r2e公，解得v1+v2=（r1 + r2）公=厶公，代入数据可知在合并前约100 s时两颗又 r1 + r2=L，严猛，解得V1 =21Gm2V2 =星的速率之和为9.6nx106 m/
7、s，C正确；合并过程中，双星间的引力做正功，所以引力势能逐渐减小，D错误。【例2】（2019河南洛阳尖子生一联）设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆 周运动，金星在地球轨道的内侧（称为地内行星），在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上， 这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为（）1十RA.BRC R* 十。） 2【答案】DR年，联立解得寅【解析】根据开普勒第三定律有R|=T金，“金星凌日”每隔t0年出现一次，故半一郑0=2
8、兀，已知T地=1地金 地)2,因此金星的公转轨道半径R金=R* (卄7) 2,故D正确.微专题精练】1.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中 两星做圆周运动的周期为T经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为()ABD答案】 B.【解析】设两恒星中一个恒星的质量为m,围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为r,两星总质量m (Mm)4n2 m (Mm)4n2为M，两星之间的距离为R，由GR2
9、=肌乍，GR=(Mm)(R r)五，联立解得：T=2n经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为T=2n窪需)=pT.选项B正确.2双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成.假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且T理论=(n1),科学家推测，在以两星球中心连 观测线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为L两星球质量均为m,据此推测，暗()物质的质量为A. (n 1)m-n 1 C.mB. (2n 1)m_ n2D. 8m答案】 Cm2L 2n2n2T 3【解
10、析】双星运动过程中万有引力提供向心力：Gm=m|()2，解得T理论;设暗物质的质量为 理论匕m2MmM,对星球由万有引力提供向心力Gm+GJMm=m (厶)2 (2)观测2,解得T观测=2n2L3G (m+4M) 根据产=观测n 1联立以上可得：M=m，选项C正确.3. （2019广州执信中学期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位 于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
11、行.设这三个星体的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同，则川丙L/Lh 卅卅;.w/JJ一丿丄亠A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同()B.直线三星系统的运动周期T=4nR 5GRMC. 三角形三星系统中星体间的距离L=12rd.三角形三星系统的线速度大小为25grm【答案】 BC【解析】 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线M2M24n2/R三星系统有+G（2R） 2=MR,解得T=4nR，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律可得2G2cos 30=M誓2coS 30，联立解得L=号，选项C正确；三角形三星系统2n L_的
12、线速度大小为v=2nr= 2cT 30，代入解得縈，选项D错误.4. （2019聊城模拟）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M,万有引力常量为G,贝肚）5GM2A.甲星所受合外力为鵲5GM2B.乙星所受合外力为54誉C.甲星和丙星的线速度相同D. 甲星和丙星的角速度相同答案】 ADGM2 GM2 5GM2【解析】甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，f 甲tgM- +（2R）=54Rr，选项a正确;由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，选项B错误；由于甲、丙位于同一轨道上，甲、
13、丙的角速度相同，由v=rnR可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项C错误， D 正确5. 在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，三颗卫星自西向东环绕地球转动.某时刻其中一颗人造卫星处于A城市的正上方，已知地球的自转周期为T地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则A城市正上方出现下一颗人造卫星至()B0.24TD0.48T少间隔的时间约为A0.18TC0.32T答案】 A【解析】 地球的自转周期为T即地球同步卫星的周期为T根据开普勒第三定律得:6.6r)3 (3.3r)3T2解得：T =下一颗人造卫星出现
14、在A城市的正上方，相对A城市转过的角度为2n则有2n 2n(tT)t=2nT解得：尺0.18T,故应选A.6如图所示，甲、乙两卫星在某行星的球心的同一平面内做圆周运动，某时刻恰好处于行星上A点的正上方，从该时刻算起，在同一段时间内，甲卫星恰好又有5次经过A点的正上方，乙卫星恰好又有3次经过A点C.甲、乙两卫星的轨道半径之比为D.若甲、乙两卫星质量相同，则甲的机械能大于乙的机械能答案】 C【解析】设所用时间为t，则甲卫星的周期为T甲=5，T二，则T甲=|，故A错误；由严竽，可知号甲=令乙乙 甲=3，故B错误；由万有引力提供向心力可知，号孕=m爭，可知r=2.j晋誉，贝彳甲=弓|甲=寺25，故C 正确；要将卫星发射较高的轨道，发射时需要更多的能量，故卫星高度越大，机械能越大，甲的机械能小 于乙的机械能，故D错误.7.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间， 且三者几乎排成一条直线的现象，天文
